Curso Física Experimental Noic- Aula 03

Aula do Victor Ivo

Calculadora, seus diversos lados.

A calculadora é, talvez, a maior companheira de um aluno de olimpíada de física ao longo de sua vida olímpica, seja  na sua utilidade em questões experimentais ou até mesmo teóricas. Dada a grande demanda por velocidade dos alunos na parte experimental, o uso da calculadora e de suas funções extras para as diversas operações (fazer todos cálculos de cabeça ou no braço está fora de questão) se mostra cada vez mais necessário, nós temos desde operações como somas e multiplicações (as vezes você tem que lidar com medidas cheias de algarismos, e a calculadora evita o acúmulo de erros nas aproximações para muitas operações com elas), até a obtenção de coeficientes angulares e lineares de retas em função de pontos experimentais (ou até mesmo de curvas mais estranhas). Comecemos com operações básicas, vou ensinar a usar uma casio fx-82MS, que é o tipo de calculadora mais comum, seria praticamente impossível fazer um guia pra todas calculadoras existentes, contudo as funções são todas bem parecidas, tanto que você "praticamente" sabe usar qualquer uma aprendendo a usar uma casio.

Começando do começo, vamos primeiro ensinar a acessar todas as teclas e subteclas, você coloca os operadores e números no visor apertando no respectivo botão (como você deve suspeitar), mas alguns botões tem uma parte em cima amarela e/ou vermelha, e isso é uma "sub tecla" que você usa apertando, no caso da amarela "shift" e depois a respectiva tecla, ou alpha (na vermelha) com sua respectiva tecla.

Operações Básicas

Algumas operações da calculadora poderiam facilmente ser feitas por você, contudo, como já foi dito, tempo é crucial na hora da prova, então vale lembrar como se soma, subtrai,divide e multiplica números genéricos. Primeiro de tudo, você deve perceber que existe uma "barra" que pisca na tela, essa barra pode se mover se você tiver coisas escritas na calculadora, você pode testar isso apertando alguns números e movendo a barra entre eles (com o cursor cinza para direita ou esquerda, o que tem "replay" escrito), e você também terá duas linhas na calculadora, uma onde fica o que você está escrevendo e a outra, abaixo, indica um resultado, que é, logo após uma operação ser realizada, o que vai ser substituído quando você usar a variável ANS. A calculadora realiza as operações descritas na primeira linha e dá a resposta na segunda linha, e essa resposta quando feita é guardada como o novo ANS, então textos que contém o ANS dependem do valor prévio calculado na calculadora, então tenha certeza que você está usando o ANS certo pro seu cálculo.

Agora, vamos aprender a deletar coisas, existem duas teclas na calculadora que são vermelhas, essas são as teclas DEL e AC, a tecla DEL apaga o dígito logo atrás da barra citada antes (que será agora "a barra"), e a AC que apaga tudo na primeira e segunda linha (mas o ANS continua salvo).

Operações como soma, multiplicação ou análogas são realizadas por colocar na tela $x @ y$, onde @ é a operação que você quer e $x$ e $y$ são os números ou operadores, e você coloca isso apertando nos respectivos botões da calculadora, e para realizar a operação você aperta "=", mudando o valor do ANS. Existem também as operações de potenciação que são um pouco diferentes, como por exemplo a de $e^{x}$, que é o número de euler elevado a um x, podemos escrever isso acessando o "e" no botão de ln, e você pode acessar ele pelo Shift ou Alpha, dependendo de como você escolher o jeito de escrever um número muda, no amarelo você eleva o "e" ao que você escrever ao lado direito dele, e você fala que o expoente acabou de ser escrito quando você coloca outra operação depois dele, por exemplo:

• $e55=e^{55}$
• $e5x5=e^{5} * 5$

E acessando o vermelho você eleva o "e" como você elevaria qualquer número, isto é, você coloca ao lado direito do número o acento circunflexo "^",e ao lado dele você coloca o número x, que será o expoente, e é recomendado que para maior clareza do texto para você (caso você queira conferir), que você coloque aspas no expoente ( isso serve para uma função qualquer, como $log(x)$ ou $sin(x)$, por exemplo:

• $e$^(x)=$e^{x}$

Perceba que você pode realizar operações não apenas com números em si, mas com valores guardados como operadores, é o caso, por exemplo, de você fazer um "texto" na calculadora com ANS, a cada vez que você fizer uma operação você muda o valor de ANS, então apertar "=" várias vezes é a mesma coisa que mudar ANS recursivamente por uma função, tente fazer isso na calculadora com multiplicação:

• Digite 1 e "=" para salvar 1 como o primeiro ANS
• Apague e coloque no texto da calculadora 5 x ANS (5ANS também serve para indicar a multiplicação)
• Aperte "=" inúmeras vezes e perceba a resposta sendo multiplicada continuamente por 5

Baseado nisso, podemos usar a ideia de recursão para encontrar soluções de equações, como por exemplo:

$x=5(1-e^{-x})$

Essa equação não tem solução analítica (cê não consegue isolar x e resolver pra um número exato), mas você pode encontrar ela facilmente por métodos numéricos, vamos supor que você faz a operação da direita,i.e, acha o valor de $5(1-e^{-x})$ pra um x positivo que você colocou, se você colocar um x maior ou menor do que o x que é a verdadeira solução, então o valor encontrado pela operação será diferente do x verdadeiro. Se o x que você colocou na operação é o x da solução, então o resultado da operação será o próprio x, pela própria definição de x da solução! Então é esperado que quando você coloca um x, e ele não for muito distante do x da solução, que após muitas iterações o resultado da operação será o próprio x, i.e, a operação vai convergir, e você pode testar isso colocando um chute inicial e iterando depois disso, e como você vai fazer essa iteração? Justamente com a função ANS, que é substituída toda vez que você realiza operação, então, escrevendo:

$5(1-e^{-ANS})$

Temos, desde o começo os valores (Colocando um inicial como 5):

• 5
• 4.966310265
• 4.965155931
• 4.965115686
• 4.965114282
• 4.965114234
• 4.965114232
• 4.965114232

Vimos disso que a função vai convergindo cada vez mais para o valor real, até que chega num valor que leva $x$ a ele mesmo no final, e a partir dessa repetição não precisamos mais realizar a operação porque apenas conseguiremos repetições idênticas (que indica que chegamos no melhor valor de x permitido pela nossa calculadora, ou seja, que leva ele a ele mesmo) ao valor atual, então com a calculadora conseguimos resolver uma equação transcedental com uma precisão absurda! Os primeiros valores da operação pode variar pelo tipo de calculadora que você usou, em algum dígito, isso acontece pelo jeito que os processos de cálculo são feitos em cada calculadora, mas em geral o resultado final(real) é o mesmo para qualquer calculadora. Inclusive, um fato interessante é que essa é a equação que você resolve quando você quer encontrar o comprimento de onda que corresponde ao máximo de intensidade luminosa de um corpo negro a temperatura T, sendo o comprimento de onda de pico o que satisfaz:

$f=\frac{hc}{\lambda_{max} k_{b}T} \approx 4.965114232$

E substituindo as constantes físicas:

$\lambda_{max} T \approx 2.898*10^{-3} m K$

Essa é a lei de deslocamento de Wien, que pode ser usada para estimar a temperatura de um corpo a partir do pico de intensidade na emissão, e conseguimos ela correta com bastante casas de precisão devido a nosso ótimo valor de $f$.

Obs:

Essa iteração nem sempre converge para o valor real, dependendo isso sempre do $x$ inicial colocado na calculadora, para números mais próximos da raíz correta, em geral, temos melhores chances de iteração com sucesso, e com números mais distantes podemos ter convergências em outro ponto ou até divergências, tomemos o exemplo dessa mesma equação com alguns casos iniciais diferentes:

- Se $x_{o}=50$:

• 50
• 5
• 4.966310265
• 4.965155931
• 4.965115686
• 4.965114282
• 4.965114234
• 4.965114232
• 4.965114232

Leva apenas 8 iterações até a convergência, ou seja, apenas uma a mais do que com o 5, bem próximo.

-Se $x_{o}=7$

• 7
• 4.99544059
• 4.966156309
• 4.965150566
• 4.965115499
• 4.965114276
• 4.965114233
• 4.965114232
• 4.965114232

Leva apenas 8 iterações também, mostrando que a partir de 5 os pontos não mudam muito a facilidade de convergência, isso acontece porque $e^{-x}$ praticamente não muda entre valores muito altos, sendo ela bem próxima de zero nessa região.

-Se $x_{o}=3$:

• 3
• 4.751064658
• 4.956787555
• 4.964822536
• 4.965104054
• 4.965113877
• 4.965114218
• 4.965114231
• 4.965114232

Levou apenas 8 iterações, o mesmo que levaria para funções distantes e maiores que 5.

-Se $x_{o}=1$:

• 1
• 3.160602794
• 4.787999126
• 4.958354469
• 4.964877613
• 4.965105976
• 4.965113944
• 4.965114222
• 4.965114231
• 4.965114232
• 4.965114232

Levou 10 iterações até a convergência, mostrando que a dificuldade vai crescendo consideravelmente ao longo que você diminui o $x_{o}$, se $x_{o}$ menor que o valor real.

-Se $x_{o}=0.5$:

• 0.5
• 1.967346701
• 4.300863159
• 4.932215739
• 4.963947455
• 4.965073504
• 4.9651123811
• 4.965114182
• 4.96511423
• 4.965114232
• 4.965114232

Levou apenas 10 também.

-Se $x_{o}=0.05$

• 0.05
• 0.243852877
• 1.081985443
• 3.305390265
• 4.816575539
• 4.959527706
• 4.964918796
• 4.965107413
• 4.965113994
• 4.965114223
• 4.965114231
• 4.965114232
• 4.965114232

Levou 12 pontos até a convergência, crescendo novamente.

-Se $x_{o}=0.005$

• 0.005
• 0.024937604
• 0.123146153
• 0.57932783
• 2.198625802
• 4.445222357
• 4.941327518
• 4.964274466
• 4.965084924
• 4.965113209
• 4.965114196
• 4.965114231
• 4.965114232
• 4.965114232

Levou 13 pontos, mostrando crescimento novamente.

-Se $x_{o}=0$

• 0
• 0

Para a função no zero é impossível chegar ao valor real, porque o zero retorna zero, então nunca cresce e nunca se aproxima do valor certo, isso também acontece pra números negativos, pois um número negativo retorna outro número negativo, e de maneira crescente, ficando cada vez mais longe do valor real. O número de iterações vai crescendo pra infinito pra $x_{o} \rightarrow 0$ e vai tendendo a 9 pra $x_{o} \rightarrow \infty$.

Geralmente as funções tem esse intervalo em que o valor inicial não pode se conter para que tenhamos a convergência correta, no nosso caso do problema temos esse intervalo como ($-\infty,0$], mas sendo o caso mais geral para funções às vezes até intervalos desconectados.

Podemos também usar, em nossos cálculos, as funções harmônicas, que são bem recorrentes em problemas de física, e neste tipo de função temos que ter algum cuidado com o tipo de unidades que estamos utilizando, a calculadora tem 3 opções, isto é, ângulos em:

• Graus
• Radianos
• Grados

Em geral as unidades mais usadas são graus e radianos, porque com graus podemos pensar em ângulos de maneira mais intuitiva (como geralmente é dado em questões e usado em geometria), e radianos é o que usamos quando queremos trabalhar com funções especificamente, as aproximações utilizadas em física ( $sen x \approx x$ funciona para x em radianos) e as derivadas das funções dependem da unidade que você tá usando, e o mais convencional para isso é o radiano. Você pode trocar entre as funções apertando MODE duas vezes, isso vai levar você a opções:

Deg     Rad     Gra

1            2            3

E você seleciona a unidade por apertar o botão que está representado logo abaixo dos nomes, onde Deg significa "Degrees", que são os nossos "graus", Rad são Radians, ou Radianos, e Gra é o grado, que é $\frac{1}{400}$ de uma rotação completa.

Para usar as funções harmônicas, ou as funções em geral, basta usar a regra antes citada de colocar $f(x)$, onde f é a função escolhida, seja sin, cos, tan ou outra qualquer. Existem outros botões úteis como $x^{2}$, ou $x^{-1}$, que, respectivamente, elevam os números ao quadrado, eleva a ${-1}$, e existem diversos que elevam à potência indicada nele, mas o resto já chega a ser bem intuitivo tendo em vista tudo ensinado até agora, como última dica, vale lembrar que para escrever um número na calculadora, como $1,27$, você não deve usar a vírgula, mas o ponto, deixando ele como $1.27$, a vírgula servirá para uma função que estudaremos mais adiante.

Regressão para médias:

Vamos supor que você num experimento mediu certa observável inúmeras vezes, e você conseguiu com isso uma coleção de dados ($x_{1}$,$x_{2}$,...,$x_{n}$), e quer encontrar quanto vale a média das medições, o desvio padrão, desvio padrão experimental e etc.... (aprenderemos mais tarde o que cada uma dessas coisas representa), existe uma coisa muito útil na calculadora, que você acessa através do modo REG,i.e, você aperta MODE, e com isso aparecerá três opções, selecione REG com 3, disso aparecerão várias opções: Lin, Log, Exp, Pwr, Inv, Quad (Os três primeiros aparecem na primeira tela, e o resto você vê usando o cursor para ir à direita). Isto são regressões, e cada uma delas pega dados ($x$,$y$) que você armazenou na calculadora e responde com a função que melhor se adequa aos dados, sendo esta funçãõ do mesmo tipo da regressão: a linear produz retas, log produz dependência logarítmica, e por aí vai.

Para nosso propósito com a regressão, para estudar médias, apenas usaremos o plot de pontos em x, sem usar o de y e portanto não estudaremos as funções aindas, enfim, para seguir o nosso propósito escolha uma função genérica de regressão, escolhemos a Lin, para continuar, daí, sua calculadora estará no modo de regressão linear. Agora vamos adicionar pontos para a memória, e como fazemos isso? Primeiro de tudo, você deve escrever seu ponto (só escreva o número desejado, pois apenas queremos armazenar $x$), e após isso aperte o botão M+ da calculadora, e com isso vai aparecer "n=" na linha de cima e "1" na de baixo, apertando AC você volta para a tela inicial, e daí você pode repetir o processo com mais pontos e aparecerá "n=" com "2","n=" com "3" e por aí vai. Caso você erre algo, ou queira revisar os pontos, você pode usar o cursor da calculadora (a grande parte cinza com "replay" escrito") para ir verificando seus pontos, sendo o $x_{i}$ que apareceu o i-ésimo dado de x que você adicionou, $y_{i}$ o i-ésimo y e o $Freq_{i}$ o número de vezes que esse dado apareceu, quando você aperta M- , apertando (SHIFT M+), você apaga o dado cujo $x$ ou $y$ é o que está aparecendo na tela. Você pode sair do modo de regressão apagando todos os dados indo em CLR (basta apertar SHIFT e MODE, veja que está amarelo logo acima do botão o escrito "CLR") e selecionando ALL ( com 3).

Agora que você aprendeu a adicionar e apagar pontos, adicione à regressão os pontos: 3, 4 e 5. Agora você pode obter resultados dessa amostra de pontos, e pode conseguir isso acessando a sub-tecla S-VAR, você faz isso apertando SHIFT e 2, daí você chegará numa tela com 3 opções: ($\bar x$,$\sigma_{x}$,$s_{x}$). Cada um representando:

1:

$\bar x=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n}$

2:

$\sigma_{x}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\bar x)^2}{n}}$

3:

 $s_{x}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\bar x)^2}{n-1}}$

Quando fomos estudar o método dos mínimo quadrados, iremos mostrar como chegar nessas definições e quais seus significados, basicamente o x barra é o x médio, como discutido na parte de erro, o sigma x é o desvio padrão da amostra, contudo o erro experimental para a medida mais adequado é, em geral, o desvio padrão experimental $s_{x}$. Se você tiver colocado os dados corretamente, espera-se que a calculadora lhe dê:

$\bar x=4$

$\sigma_{x}=0.81649658$

$s_{x}=1$

O valor de $\sigma_{x}$ pode dar ligeiramente diferente na sua calculadora por diferenças de aproximações do sistema, mas dá mais ou menos esse valor (revise os dados que você colocou, diante de qualquer resultado inesperado). Usar a calculadora pra essas médias e desvios pode parecer uma perda de tempo, mas é extremamente útil na hora da prova, quando você precisa achar rapidamente os desvios e médias, e é útil principalmente quando a amostra trabalhada é muito grande.

Regressão Linear:

Agora que aprendemos a usar o modo de regressão linear, vamos tentar aplicar os conceitos já estudados pra o estudo de um conjunto de dados ($x$,$y$), e aprenderemos a encontrar, através da calculadora, a melhor reta que se ajusta a esses pontos, com seus respectivos desvios nos coeficientes. Para começarmos, primeiro devemos aprender como colocar uma dupla de pontos na calculadora.

Primeiramente, coloquemos no modo de regressão apropriado (no nosso caso é o linear, mas a maneira de se colocar pontos é a mesma em todos), depois disso, com o modo devidamente iniciado e vazio, adicione os pontos da seguinte maneira:

$x$,$y$

Isto é, digite o valor de $x$, coloque a vírgula (essa é a utilidade dela) e depois o valor de $y$, a seguir aperte o M+, a mensagem mostrando que a adição do ponto deu certo é a mesma do caso anterior: "n= " na primeira linha e a ordem em que o ponto foi colocado na segunda (1, no caso do primeiro). Depois de adicionado os pontos, os dados estarão guardados no mesmo lugar de antes, você deve acessar o S-VAR, como foi ensinado anteriormente, e com isso chegar nas telas (andando entre elas com o cursor):

-Primeira Tela:

   $\bar x$      $\sigma_{x}$    $s_{x}$

$1$      $2$      $3$

Os valores tem o mesmo significado da regressão com uma variável, se aplicando à variável $x$.

-Segunda Tela:

 $\bar y$      $\sigma_{y}$    $s_{y}$

$1$      $2$      $3$

Tem o mesmo significado da primeira tela, contudo os valores se referem à variável $y$

-Terceira Tela:

$A$     $B$    $r$

$1$      $2$      $3$

Nós podemos escrever uma equação de uma reta como:

$y=A+Bx$

O primeiro termo, $A$, nós chamamos de coeficiente linear, ele é o valor da variável $y$ quando a variável $x$ é nula, ou em termos de um gráfico com origem em $x=0$, é o valor da intersecção da reta com o eixo y do gráfico. O segundo termo, $B$, é o coeficiente angular, ele é o termo que representa a inclinação da reta e, por consequência, indica a razão entre uma variação de $y$ por uma variação de $x$. O terceiro termo é o menos comentado, e é o que provavelmente um aluno de ensino médio menos conhece, ele é o coeficiente de correlação.

O coeficiente de correlação existem em todas as regressões, é talvez o item mais útil da análise de erros e contém em si um grande conceito de experimental, o quão duas variáveis são dependentes, relacionadas, num dado intervalo estudado. O coeficiente de correlação pode assumir, a priori, qualquer valor entre -1 e 1, e os valores com módulo tendendo a 1 (como 0.9999 ou -0.99997) são valores de alta correlação, e portanto as variáveis tem uma relação forte. Uma reta ideal contém coeficiente de correlação 1 ou -1, isso acontece porque uma variação em y implica uma variação direta em x, sempre na mesma proporção, isso é uma correlação experimental perfeita, uma reta perfeita sem pontos experimentais fora dela, experimentalmente, isso é impossível de ser encontrado num bom experimento, mas alguns experimentos com poucos pontos coletados podem levar a isso devido ao fato que existe uma chance não nula de isso acontecer , apesar de pouco provável, acontece.

Podemos medir o valor do coeficiente de correlação de $x$ e $y$, para uma reta, como:

$r=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\sigma_{y}}$

Quando o coeficiente de correlação é zero, significa que:

$\sigma_{xy}=\overline {\Delta x \Delta y}=\overline \Delta x \overline \Delta y=0$

Isto é, podemos quebrar a média do desvio de x vezes o desvio de y como o produto das médias , o que significa que essas variáveis são aleatórias entre si, independentes. O módulo do coeficiente de correlação então gradua as relações entre variáveis de 0 a 1, de independentes até perfeitamente dependentes. Existe algumas questões em olimpíada que apenas pedem que você estude qual das funções dadas melhor se adequa aos pontos experimentais, pra se escolher qual é a função que de fato descreve o sistema físico, esse tipo de questão é mais comum em olimpíadas de química, nas vezes em que é pedido pra você determinar o grau de uma reação a partir dos dados de concentração por tempo, pois você deve chegar supostamente num tipo de equação:

$aA+bB \rightarrow cC+dD$

$v=k A^{\alpha} B^{\beta}$

Onde $v$ é a chamada velocidade da reação,$k$ é uma constante e $\alpha$ também, sendo $\alpha$ em geral um inteiro, chamado ordem da reação em relação a $A$ e $\beta$ a ordem da reação em relação a $B$. Então basicamente, você deve escolher uma solução pra ordem, jogar na regressão escolhida, e verificar a correlação.

Enfim, agora que você sabe como encontrar o valor do coeficiente linear e angular, resta a dúvida de como escrever eles, i.e, qual o erro deles e consequentemente quantas casas você deve usar na representação deles, o quanto vale o erro relativo de cada um, e todo esse tipo de informação relevante. Primeiramente,  vamos aprender a calcular os desvios do coeficiente angular e linear, não demonstraremos as formulas pois não há necessidade disso para aprendermos o uso delas, mas todas serão demonstradas em outro momento do curso, temos, na notação da calculadora ($y=A+Bx$):

$\sigma_{B}=B\sqrt{\frac{\frac{1}{r^2}-1}{n-2}}$

$\sigma_{A}=\sigma_{B} \sqrt{\overline x ^2+\sigma_{x}^2}$

Ou, na notação da SBF ( em que $y=ax+b$):

$\sigma_{a}=B \sqrt{\frac{\frac{1}{r^2}-1}{n-2}}$

$\sigma_{b}=\sigma_{B} \sqrt{\overline x^2 +\sigma_{x}^2}$

Então, em posse disto, podemos escrever o coeficiente linear e angular da reta ajustada com essas fórmulas simples e rápidas, e todos os dados necessários nas contas estão armazenados na calculadora, sendo os desvios de $x$ e coeficiente de correlação localizados nas telas do $S-VAR$ e o número de dados ($n$) no $S-SUM$ (você acessa com SHIFT e 1).

Linearização:

Chamamos de linearização o processo de transformar uma equação que relaciona uma variável $y$ e $x$, de maneira não linear, numa relação linear, assim possibilitando os plots e regressões serem feitos com equação de reta, que é bastante mais simples que o geral, deixaremos como exemplo a linearização das regressões da calculadora:

-Regressão Logarítmica (Resolução por Regressão linear):

A regressão logarítmica funciona (como todas) com o mesmo processo de inserção de pontos, e os parâmetros representam os coeficientes, como seguindo a fórmula:

$y=A+B ln(x)$

Daí, nós mudamos a variáveis para $z=ln(x)$ para conseguir a relação linear:

$y=A+Bz$

Plotando ($y$,$z$), obtemos $A$ e $B$, e como a relação é linear os erros são os mesmos do caso anterior.

-Regressão Exponencial (Resolução por Regressão Linear):

A regressão exponencial funciona (como todas) com o mesmo processo de inserção de pontos, e os parâmetros representam os coeficientes, como seguindo a fórmula, na notação de regressão exponencial:

$y=AB^{x}$

Neste caso, a calculadora a partir dos pontos pode dar esses coeficientes, contudo o erro é um pouco mais complicado e não é necessário saber disso para as provas de olimpíada (o erro da regressão exponencial a partir de operações nela mesma), então estimaremos o erro a partir de uma linearização dessa equação e faremos com isso uma regressão linear, para não confudirmos o $A$ e $B$ da regressão linear com o $A$ e $B$ da exponencial, reescrevamos a equação exponencial como:

$y=CD^{x}$

$ln(y)=ln(CD^{x})=ln(C)+ln(D^{x})=ln(C)+ln(D) x=A+Bx$

Sendo agora o $A$ e $B$ os conseguidos a partir da regressão linear das variáveis linearizadas $ln(y)$ contra $ln(x)$.E a partir do que sabemos sobre regressão linear e por comparação, temos:

$ln(D)=B$

$ln(C)=A$

$\sigma_{B}=\sigma_{ln(D)}=\frac{\sigma_{D}}{D}=B\sqrt{\frac{\frac{1}{r^2}-1}{n-2}}$

$\sigma_{D}=B e^{B} \sqrt{\frac{\frac{1}{r^2}-1}{n-2}}$

$\sigma_{A}=\sigma_{ln(C)}=\frac{\sigma_{C}}{C}=\sigma_{B} \sqrt{(\bar x)^2+\sigma_{x}^2}$

$\sigma_{C}=\sigma_{B} e^{A} \sqrt{(\bar x)^2+\sigma_{x}^2}$

Logo, um problema complicado fica simples se fizermos a função virar linear, não necessariamente com as mesmas funções $y$ e $x$, em geral quando queremos criar uma relação linear entre uma variável $y$ e uma $x$ nós precisamos fazer alguma transformação sobre elas, nesse caso foi tirar o $ln$ da função $y$ para o expoente $x$ "descer".

-Regressão de potência (Resolução por Regressão linear):

Neste tipo de regressão, temos, na notação da Regressão de potência:

$y=Ax^{B}$

Desta maneira é difícil tirarmos os erros do coeficientes, i.e, a partir da própria regressão é difícil e geralmente esse método não cobrado em olimpíadas, mas podemos obter os resultados a partir da regressão linear, que é em geral bem simples, para isso vamos primeiro mudar as variáveis , para não confudirmos os $A$ e $B$ da regressão de potência com o $A$ e $B$ da regressão linear (da equação linearizada), reescreveremos a equação da potência como:

$y=Cx^{D}$

$ln(y)=ln(Cx^{D})=ln(C)+D ln(x)=A+Bx$

Por comparação com os resultados de regressão linear, temos:

$A=ln(C)$

$B=D$

$\sigma_{a}=\sigma_{B}=B \sqrt{\frac{\frac{1}{r^2}-1}{n-2}}$

$\sigma_{D}=\sigma_{B}=B \sqrt{\frac{\frac{1}{r^2}-1}{n-2}}$

$\sigma_{A}=\sigma_{ln(C)}=\frac{\sigma_{C}}{C}=\sigma_{B} \sqrt{(\bar x)^2+\sigma_{x}^2}$

$\sigma_{C}=e^{A} \sigma_{B} \sqrt{(\bar x)^2+\sigma_{x}^2}$

-Regressão de inverso (Resolução por Regressão linear):

Basta você plotar "$\frac{1}{x}$", que será o novo x se definimos o dado da relação como um $z$, ao ínves de $x$ na calculadora, assim você terá:

$y=A+B \frac{1}{z}$

$\frac{1}{z}=x$

Sendo então a equação a mesma de uma regressão linear, tendo logo o mesmo tipo de erro.

-Regressão quadrática ( Resolução por Regressão linear):

Temos, na notação da Regressão quadrática:

$y=A+Bx+Cx^2$

Como em geral as olimpíadas não cobram a estimativa de erro a partir da própria regressão quadrática, vamos fazer uma estimativa de erro a partir da linearização de uma equação quadrática, e para evitar futuras confusões, deixemos de lado a notação de coeficientes da regressão quadrática, ao invés de usar $A$,$B$ e $C$ (alguns destes nomes de variáveis aparecem na regressão linear que faremos e seria confusa uma comparação entre os coeficientes), vamos usar a equação quadrática como:

$y=D+Ex+Fx^2$

Podemos definir o conjunto ($x_{1}$,$x_{2}$,....,$x_{n}$), como o conjunto das medidas, e colocando uma ordem nela, definamos também $z_{i}=y_{i+1}-y_{i}$, logo:

$y_{i+1}-y_{i}=F(x_{i+1}^2-x_{i}^2)+E(x_{i+1}-x_{i})$

$w_{i}=\frac{y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}=F(x_{i+1}+x_{i})+E$

$w_{i}=A+B(x_{i+1}+x_{i})$

Plotando agora $w_{i}$ contra $x_{i+1}+x_{i}$, variando $i$ de 1 até $n-1$,  obteremos uma reta com coeficientes:

$B=F$

$A=E$

$\sigma_{F}=\sigma_{B}=B\sqrt{\frac{\frac{1}{r^2}-1}{n-2}}$

$\sigma_{E}=\sigma_{A}=\sigma_{B} \sqrt{(\bar x)^2+\sigma_{x}^2}$

Sendo que este $x$ da equação não se refere ao x da nossa equação passada, mas ao $x$ da calculadora, ao que ela dá (o que seria nossa variável $x_{i+1}+x_{i}$). Agora resta descobrir o valor de $D$ a partir dos parâmetros da calculadora, isso é um pouco mais complicado porque este dado não aparece na nossa linearização, mas podemos ter boas estimativas a partir dos dados de $x$ e $y$, por exemplo, definiindo:

$D_{i}=y_{i}-Ex_{i}-Fx_{i}^2$

Daí (assumindo que o erro não varia muito nos $D_{i}$''s):

$D \approx \bar D_{i}=\frac{\sum_{i=1}^n D_{i}}{n}$

$\sigma_{D}\approx \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^n \sigma_{D_{i}}^2}}{n}$

Deixo também aqui o link de alguns exercícios de experimental da UFPE, eles contém alguns dados, tabelas e papéis de gráfico que você pode usar para treinar velocidade e aplicar o que você aprendeu nessas aulas. Recomendo fortemente que você tente fazer o máximo de questões possíveis, alguns tópicos lá não são dados nesse curso pois também não caem nas provas, mas você pode fazer pra "saber pra vida", ou até mesmo olhar as soluções/gabaritos do que você não sabe para aprender, e depois voltar pra refazer a questão, de qualquer maneira, se esforce o máximo possível para treinar as habilidades que lhe serão úteis na hora dos testes. Link aqui

Deixo também o link de algumas tarefas para treinar velocidade e os conceitos ensinados aqui da aula, esse do próprio Noic, com algumas tabelas propositalmente extensas e propagações um pouco mais complicadas que vão cobrar seu bom e rápido uso de ferramentas como calculadora, tabela e gráficos, tente fazer todos antes das suas provas no tempo recomendado em cada um:

Deixo também o link de algumas tarefas para treinar velocidade e os conceitos ensinados aqui da aula, esse do próprio Noic, com algumas tabelas propositalmente extensas e propagações um pouco mais complicadas que vão cobrar seu bom e rápido uso de ferramentas como calculadora, tabela e gráficos, tente fazer todos antes das suas provas no tempo recomendado em cada um:

-Lista Noic de Tarefas em Experimental 01

-Lista Noic de Tarefas em Experimental 02

Desta aula vale-se destacar e lembrar o ensino de:

• Operações Básicas na calculadora.
• Como fazer iterações na calculadora.
• Como conseguir médias e dados de uma amostra pelo modo de regressão.
• Importância do coeficiente de correlação.
• Como ajustar uma reta por mínimos quadrados com a calculadora, e os respectivos desvios.
• Como fazer linearização de uma função (com exemplo nas mais importantes regressões)