Soluções Astronomia - Semana 29

Iniciante

Existe uma relação facilmente provada por geometria que relaciona Tempo Sideral $(TS)$, Ascensão Reta $(\alpha)$ e Ângulo Horário $(H)$ da seguinte maneira:

$TS = \alpha + H$

Assim, para a resolução deste problema, também é esperado que o estudante saiba os ângulos horários dos astros em posições específicas.

a) No Ocaso, para latitude $0^{\circ}$, o ângulo horário de qualquer astro será de $+6^h$.

Assim:

$TS = \alpha + H$

$TS = 11^h55^{min}$

 

a) No Nascer, para latitude $0^{\circ}$, o ângulo horário de qualquer astro será de $-6^h$.

Assim:

$TS = \alpha + H$

$TS = 23^h55^{min}$

c) Na Culminação superior, independente da latitude, o ângulo horário de qualquer astro será de $0^h$.

Assim:

$TS = \alpha + H$

$TS = 5^h55^{min}$

 

d) Na Culminação inferior, independente da latitude, o ângulo horário de qualquer astro será de $12^h$.

Assim:

$TS = \alpha + H$

$TS = 17^h55^{min}$

 

Obs.: Caso a latitude não fosse $0^{\circ}$ poderia-se calcular o Ângulo Horário no nascer e no ocaso, da seguinte maneira:

$H = \pm arccos(-tan{\phi}tan{\delta})$

onde $\phi$ é a latitude e $\delta$ é a declinação do astro em questão. Será positivo no ocaso e negativo no nascer.

 

 

Intermediário

Para solucionar esse problema, deve-se encontrar a diferença de tempo sideral em Greenwich, converter essa diferença para tempo solar médio em Greenwich (UT) e aplicar a correção zonal, assim obtendo o horário civil em Keszthely.

Calculemos a diferença de tempo sideral em Greenwich:

${\Delta TS_{Greenwich} = TS - TS_0}$

Do enunciado, temos que

$TS_0 = 7^h14^{min}56,3^s$

Para obter ${\Delta}TS$, podemos usar a seguinte equação, que relaciona tempos siderais em diferentes longitudes com a diferença de longitude dos lugares.

${\Delta \lambda = TS_{Keszthely}- TS_{Greenwich}}$

Temos assim, que

$TS_{Greenwich} = 2^h43^{min}45,94^s$

Assim, a diferença de tempo sideral, em Greenwich, será:

${\Delta TS_{Greenwich} = 19^h28^{min}49,64^s}$

Como um dia sideral ($24^h$ siderais) tem $23^h56^{min}4^s$ solares, temos que multiplicar ${\Delta TS_{Greenwich}}$ por ${\frac{23^h56^{min}4^s}{24^h}}$.

Assim

${\Delta TSol_{Greenwich}=19^h25^{min}37,27^s}$

Temos que:

$\Delta TSol_{Greenwich} = TSol_{Greenwich} - TSol_0$

Mas, como ${TSol_0} = 0^h$, temos que:

$TSol_{Greenwich} = 19^h25^{min}37,27^s$

Aplicando a correção zonal (UT+1)

$TCiv_{Keszthely} = 20^h25^{min}37,27^s$

 

 

Avançado

Como diz o ditado, uma imagem vale mais que mil palavras.

No desenho está representada a culminação superior da GNM em Phuket. O círculo representa o equador, visto do polo norte celeste.

Sabe-se que todos os dias, o Ponto Vernal nasce mais cedo $3^{min}56^s$. Ou seja, para uma mesma hora civil, a cada dia que passa, o Tempo Sideral aumenta em $3^{min}56^s$. Essa é a ideia chave para a resolução deste problema.

Sabemos que:

$GST = 24h - (L-RA)$

onde $L$ é a longitude de Phuket e $AR$ é a ascensão reta da GNM.

Assim:

$GST = 22^h50^{min}$

Sabemos também que o tempo sideral deve ser esse, às $21^h$ (UT+7h), ou seja, às $14^h$ (UT).

Assim, no dia primeiro, às $14^h$ (UT), o tempo sideral $(TS)$ foi:

$TS-TS_0 = {\frac{24^h}{23^h56^{min}4^s}}{UT-UT_0}$

$TS = 6^h43^{min} + {1,0027}{\cdot}{(14^h-0^h)}$

$TS = 20^h45^{min}$

Assim, a diferença entre $GST$ e $TS$ deverá ser igual ao número de dias que se passaram desde o dia $1^{\circ} de Janeiro$, $(N)$, vezes os $3^{min}56^s$ que devem ser adicionados ao Tempo Sideral, para uma mesma hora solar, cada dia.

Dessa forma,

$GST-TS = N{\cdot}3^{min}56^{s}$

Assim:

$N = 31,7 dias$

Passarão-se mais 30 dias em janeiro (dia 2 ao dia 31) e 1,7 dias em fevereiro, assim temos a data 2 de fevereiro como resposta.