Lista Foice 03 (Victor)

01-Transporte:

Demonstre que, definindo um vetor velocidade $\vec{v}$ para uma quantia infitesimal de fluido em cada ponto do espaço, no qual a massa total dele se conserva, vale a relação para evolução temporal de sua densidade:

$\frac{D\rho}{Dt}=-\rho(\nabla \cdot \vec{v})$

Onde:

$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+(\vec{v} \cdot \nabla)$

Qual a condição que o escoamento de um fluido deve satisfazer, para ser incompressível?

02-Fluido Incompressíveis:

Figura 01: Superfície envoltória das linhas de velocidade

Definindo como linha de velocidade a linha que é gerada sendo tangente ao vetor velocidade do fluido num ponto qualquer, mostre que a linha velocidade num líquido incompressível nunca pode terminar dentro dele, a não ser que a velocidade seja nula em todo ponto, a linha termine fora do fluido ou forme loops fechados.

03-Vorticidade:

Definindo como vorticidade a quantidade:

$\vec{\omega}=\nabla \times \vec{v}$

Definindo linha de vorticidade a linha gerada sendo tangente ao vetor vorticidade do fluido num ponto qualquer, mostre que a linha de vorticidade não termina em nenhum ponto do fluido, a não ser que a vorticidade seja nula em todos os pontos, a linha termine fora do fluido ou forme loops fechados.

04-Energia se Conserva às vezes:

Tomando uma superfície gerada pelas linhas de velocidade de um fluido, mostre que nela, se desconsideramos trabalho de forças dissipativas ou condução de calor:

$\frac{P}{\rho}+\tau=cte$

Sendo $\tau$ a energia por massa do fluido, $p$ sua pressão e $\rho$ sua densidade.

05-Mas Nem sempre:

Prove que num escoamento unidimensional, com secção tranversal constante e $p$ e $v$ homogêneos, vale que:

$\rho v^2+p=cte$

Como seria uma generalização desse resultado para um $p$, $v$ e $S$ não homogêneos?

06-Navier Stokes:

Nessa questão iremos conseguir deduzir as equações de Navier Stokes, que descrevem um fluxo genérico de fluido.

a) Escreva a quantia de massa saindo duma superfície $S$, de volume $V$ em função duma integral no volume, operadores diferenciais, e parâmetros do fluido $\rho$ e $\vec{v}$, que você poderá usar de agora em diante.

b) Escreva a taxa de variação de massa dentro desse volume $V$ em função duma integral de volume e operadores diferenciais

c) Escreva, numa forma diferencial, a condição para conservação local de massa.

d) Escreva o fluxo de momento na direção $i$ saindo de uma superfície fechada em função duma integral apropriada sobre a superfície, você pode usar a notação de Einstein, em que:

$a_{i}b_{i}=\sum_{i=1}^{3} a_{i} b_{i}$

A resposta deve ficar em função da densidade e componentes da velocidade e vetores área relevantes.

e) Escreva em função de integrais e componentes de velocidade apropriados a taxa de variação de momento dentro dessa superfície.

f) Escreva, por meio dos resultados anteriores, o momento gerado nessa superfície devido à influência de forças externas.

g) A força exercida no sistema pode ser gerada por duas maneiras diferentes, por interações no volume ou entre superfícies, podemos escrever em geral:

$F_{i}=\int f_{i} dV +\int \sigma_{ij} dS_{j}$

Escreva, então, a segunda lei de newton do sistema na forma diferencial (em termo dos i's)

h) Pode-se mostrar que para que exista isotropia do espaço, devemos ter:

$\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+\mu(\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}})$

Mostre então, que vale, a equação de Navier-Stokes para conservação de momento:

 

$\rho\frac{D\vec{v}}{Dt}=\vec{f}-\nabla p+\mu(\nabla^{2}\vec{v}+\frac{1}{3}\nabla(\nabla \cdot \vec{v}))$

i) Para o caso de um fluido incompressível, simplifique a equação

j) Calcule para o caso incompressível a equação diferencial que rege a evolução da vorticidade no tempo, se a vorticidade é zero num tempo $t$, ela pode passar a ser não zero depois? Quais as condições pra isso ser possível ou não?

k) Para o fluido incompressível, sem viscosidade e irrotacional, mostre que, tomando:

$f=-\nabla \psi$

$v=-\nabla \phi$

Temos:

$p+\psi+\frac{\rho v^2}{2}-\rho \frac{\partial \phi}{\partial t}=cte$

E no caso estacionário, temos a equação de Bernoulli com todas as linhas de velocidade com a mesma constante:

$p+\psi+\frac{\rho v^2}{2}=cte$

07-Equilíbrio mecânico:

Um recipiente de volume V inicialmente a vácuo está fechado numa atmosfera de pressão $p$ e temperatura $T_{o}$, após isso é feito um pequeno furo nele por meio do qual a atmosfera entra lentamente. Após isso o sistema vai entrar em dois equilíbrios relevantes, sendo que um acontece bem antes do outro. Qual equilíbrio acontece primeiro, provavelmente, e qual será a temperatura nele?

Dados: $\gamma$, Coeficiente de Poisson do gás

08-Escoamento Inclinado:

Um jato d'água atinge uma superfície lisa e daí se se separa em dois jatos diferentes, um se movendo pra direita e uma pra esquerda. Sendo o ângulo que o jato faz com x igual a $\alpha$, encontre a razão da vazão de água dos dois jatos, e a razão de suas velocidades.

Figura 02: Jato se espalhando em dois de diferentes áreas

09-Barra Pesada:

Uma barra está se movendo na água com velocidade $v$ em relação à sua normal, com base nisso e sabendo que ela faz um ângulo $\alpha$ com o eixo y, encontre a velocidade $u$ da água subindo ao longo da barra.

Figura 03: Barra descendo contra o líquido e forçando fluxo.

10-Cachimbo da Paz:

Supondo que você está fumando um cachimbo, tal que a temperatura do gás que sai dele, cuja massa molar vale $\mu$ e coeficiente de Poisson $\gamma$, é praticamente constante e igual a um $T_{o}$. Sendo a temperatura da atmosfera $T$ e a fumaça muito má condutora de calor com o meio externo, ache a altura máxima de subida da coluna de gás sabendo que a gravidade vale $g$.

11-Tensão Superficial:

Nos materiais existem energias relacionadas às interações intermoleculares entre seus diversos constituintes, contudo há uma assimetria nos contornos deles devido a falta de continuidade do material. Essa assimetria gera um defeito de energia, que seria de ligação portanto negativo, gerando então uma energia positiva. Essa energia associada a superfície deve ser proporcional ao número de moléculas nela presente, em geral da área, e pode depender de outros parâmetros do material, essa energia será nossa tensão superficial, que chamaremos de:

$E=\sigma A$

Onde $\sigma$ é o coeficiente de tensão superficial do material e $A$ é sua área de superfície, pela relação de proporção que dissemos que deveria existir.

a) Considerando um filme de sabão retangular de comprimento L, e certa largura, qual a força que você deve exercer para segurar o sabão?

b) Qual a diferença de pressão entre a parte interna e externa de uma bolha?

c) Ache a diferença de pressão na interface de uma bolha quando ela tem dois raios de curvatura principais na superfície, $R_{1}$ e $R_{2}$.

12-Canudinho:

Num canudo de diâmetro $d$ uma bolha em sua ponta está na eminência de cair, calcule qual seu raio. Considere que o diâmetro do canudo é muito menor que o comprimento de capilaridade do material (uma combinação das variáveis do corpo com a gravidade)

Dados: $\sigma$ é o coeficiente de tensão superfícial e $g$ a gravidade.

13-Filme:

Supondo que você quer gravar um filme de água que preenche um anel sendo despedaçado. Estime o timing necessário para você conseguir registrar a filmagem, tendo o filme uma espessura $h$, o anel um diâmetro $D$ e a água um coeficiente de tensão superficial e densidade, respectivamente, $\sigma$ e $\rho$.

Dados: $\sigma=0.025 \frac{N}{m}$; $D=10cm$; $h=1\mu m$

14-Bolhas Grudentas:

Se você tem duas bolhas de mesmo material, uma com raio $R$ e outra com raio $r$ unidas por meio de uma interface, encontre o raio de curvatura dessa interface e o raio do perímetro circular disso.

15-Duas placas:

Suponha que você tem duas placas de vidro, tal que a área molhada delas tem área $A$ e o ângulo de contato da água é $\theta$, encontre a força de atração entre as placas em função de sua distância $d$ e coeficiente de tensão superficial da água $\sigma$

16-Ângulo de contato:

Supondo que nós temos um líquido em contato com um sólido, estado todo esse sistema cercado por gás. O sistema vai ter uma energia de tensão superficial em cada interface de separação das fases, e vai existir um estado em que essa energia vai ser minimizada, portanto o estado de equilíbrio. Encontre, com isso, a relação que vale em transformações espontâneas da área de contato no sólido:

$\sigma_{ls}+\sigma_{lg}cos\alpha \geq \sigma_{sg}$

Onde no equilíbrio ocorre a igualdade. Para alguns valores dos coeficientes o líquido tende a ficar no máximo de contato possível com o sólido, podendo até subir pelas paredes de alguns, que é bem visto em superfluidos, o que deve valer sobre os coeficiente pra que isso ocorra?