Lista Foice 04 (Victor)

01-Circulação:

É natural a definição de algumas grandezas auxiliares em física, a circulação é uma delas. Você pode pensar na circulação como um contorno da velocidade sobre um loop, ou como o fluxo da vorticidade na área delimitada por esse. Defina:

$\Gamma=\oint_{l} \vec{v} \cdot \vec{dl}=\oint_{S} \vec{\omega} \cdot \vec{dS}$

a) Mostre que a integral de contorno da velocidade em um contorno II que contém um contorno I, sendo que a região que está contida dentro de II mas não de I tem rotacional de $\vec{v}$ nulo, é igual à em I.

Desse resultado, vemos que a contribuição à circulação vem só da região do espaço com vorticidade não nula, que seriam nossas "fontes de circulação". Essas trabalham de uma maneira bem parecida com as contribuições de corrente na integral de linha do campo magnético.

b) No espírito dessa ideia, considere uma fonte de circulação na origem de um espaço de coordenadas, e que apenas nessa região muito pequena do espaço ela existe. Com isso, encontre o módulo do vetor velocidade a uma distância $r$ da fonte, e sua respectiva direção, na região fora da vorticidade. Você pode supor simetria por rotação em torno da direção da vorticidade. A circulação total do ponto é $\Gamma$

c) Considerando que a fonte de vorticidade é um tubo infinito de raio muito pequeno $a$, e que a vorticidade é constante dentro dele e zero fora, encontre a velocidade da água num lugar genérico do espaço, desconsiderando efeitos de descontinuidade. A circulação total do tubo é $\Gamma$

d) Considere agora um cilindro de água, no qual no seu centro está um tubo de vorticidade de raio $a$, encontre o formato da superfície da água em função da distância até o eixo do cilindro. Você pode desconsiderar efeitos de descontinuidade e usar que a gravidade vale $g$. A circulação total do tubo é $\Gamma$

e) Na região do espaço com vorticidade nula, você pode escrever:

$v=-\nabla \phi$

Onde $\phi$ é o chamado potencial de velocidade. Num fluido incompressível, que equação diferencial de segunda ordem $\phi$ deve respeitar sempre? Veja que essa equação tem uma solução pra dadas condições de contorno e aparece bastante na física, e como a estrutura matemática de certas matérias é parecida, você pode resolver um problema de hidrodinâmica com ideias de eletromagnetismo, por exemplo.

f) Considere que você tem um tubo de vorticidade, com circulação $\Gamma$, a uma distância $d$ de uma plano infinito. Encontre a velocidade do fluido, em função da posição, no estado estacionário. O tubo de vorticidade pode estar parado?

02-Homem Super:

Você está em mais um dia na sua base semi-esférica maligna no meio do pântano quando de repente é atacado. Seu arqueinimigo, Homem Super, está usando seu super sopro pra criar uma rajada de vento em sua direção. Considerando que sua base está na eminência de flutuar, que o ar está praticamente incompressível e que o fluxo é irrotacional, qual a velocidade do sopro do Homem Super?

Dados: Massa da base $m$, gravidade $g$, raio da base $R$ e densidade do ar $\rho$

03-Lei de Jurin:

Suponha que você tem um tubo com um líquido dentro, que está com o fundo aberto e em contato com uma grande quantia desse fluido. Graças às forças de tensão superficial, o líquido sobe ou desce uma quantia a mais em relação ao fluido dos arredores, encontre essa altura em função do ângulo de contato do líquido $\theta$, tensão superficial $\gamma$, diâmetro do tubo $d$, densidade do líquido $\rho$ e gravidade $g$. Você pode encontrar o resultado por duas ideias principais, faça pelas duas maneiras (Pressão e Força).

04-Galileu:

Mostre que, se numa colisão de duas partículas que tem como resultado $n$ outras, a energia cinética do sistema se conserva em todos referenciais, sendo a relação entre os referenciais ditada pela transformada de galileu, então o momento linear e massa do sistema se conservam em todos eles.

05-Maxwell:

Manipulando as equações de Maxwell no vácuo você consegue encontrar que o campo eletromagnético se propaga como uma onda, respeitando as equações:

$\nabla^2 \vec{E}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$

$\nabla^2 \vec{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$

Mostre que essas equações não são invariantes por transformada de Galileu.

06-Linearidade:

Mesmo que as transformações de Galileu não estejam corretas, elas satisfazem algumas propriedades necessárias à transformação correta entre referenciais. Por exemplo, supondo que existe um homogeneidade do espaço, isto é, que não há nada de especial com alguma posição específica dele, e que corpos em movimento livres de forças externas continuam com a mesma velocidade, as transformações entre referenciais devem ser lineares. Imagine que você tem um relógio se propagando no espaço com velocidade constante num referencial $S$, isto é, que:

$\frac{dx_{i}}{dt}=cte$

Onde $x_{i}$ se refere às três coordenadas espaciais $(i=1,2,3)$ do evento "relógio deu tic" no referencial $S$. A partir de agora, denotaremos $x_{i}$ para representar uma coordenada qualquer $(i=0,1,2,3)$ do espaço-tempo, sendo $x_{o}=ct$.

a) Esse relógio tem um certa contagem de tempo $\tau$ no seu próprio referencial, e uma contagem $t$ no referencial $S$, da homogeneidade do espaço podemos inferir o que sobre essas grandezas?

b) Da sua relação, mostre que deve valer que:

$\frac{d^2 x_{\mu}}{d\tau^2}=0$

c) Expanda $\frac{dx'_{\mu}}{d\tau}$ em função duma soma com termos $\frac{dx_{\nu}}{d\tau}$ e $\frac{dx'_{\mu}}{dx_{\nu}}$

d) Expanda $\frac{d^2 x'_{\mu}}{d\tau^2}$ em função duma soma com termos das derivadas parcias das coordenadas do referencial $S'$ e $S$ e das derivadas das coordenadas de $S$ em relação a $\tau$

e) Mostre que:

$\frac{\partial^2 x_{\mu}}{\partial x_{\nu} \partial x_{\sigma}}=0$

Isto é, que as transformações devem ser lineares.

07-Outra Transformação:

Vamos investigar como deve ser a transformação correta de coordenadas de um evento $(t,x,y,z)$ de um referencial S pra um outro S' com $(t',x',y',z')$, que se move a velocidade constante $v$ no eixo x em relação a S. Se a relação é linear, vale que, definindo um vetor coluna $w$:

$w'=Aw+B$

Onde $A$ é uma matriz de transformação, ou seja:

$t'=A_{00}t+A_{01}x+A_{02}y+A_{03}z+B_{0}$
$x'=A_{10}t+A_{11}x+A_{12}y+A_{13}z+B_{1}$
$y'=A_{20}t+A_{21}x+A_{22}y+A_{23}z+B_{2}$
$z'=A_{30}t+A_{31}x+A_{32}y+A_{33}z+B_{3}$

Podemos regular o relógio dos dois referenciais tal que t=t'=0 no momento em que os referenciais se cruzam em $x$.

a) Sendo os relógios regulados corretamente, encontre como deve ser $x'$ em função de $x$, $t$ e $v$ a par de uma constante multiplicativa.

b) Existe uma transformação chamada de reversão de $x$ e $z$, numa transformação desse gênero você inverte o eixo x e eixo z dos referenciais $S$ e $S'$, com isso também trocando quem é o referencial "1" ou "2" e invertendo algumas posições.

$x \leftrightarrow -x'$ $y \leftrightarrow y'$ $z' \leftrightarrow z$ $t' \leftrightarrow t$

Deduza com isso como deve ser $x$ em função de $x'$ e $t'$ a par de uma constante multiplicativa.

c) Definindo o plano $x=vt$, que segue $S'$, e definindo os planos $y=0$ e $z=0$, você tem o conjunto de planos que definem o movimento de $S'$. Esses últimos dois planos podem ser não ortogonais em $S'$? Se não, defina $y'=0$ e $z'=0$ para esses planos, pois eles são ortogonais e a escolha dos eixos $y'$ e $z'$ é arbitrária.

d) De posse das definições do item anterior, e seu conhecimento sobre reversões, encontre $y'$ e $z'$ em função das coordenadas $x_{\mu}$ de $S$.

e) Imagine um experimento mental, em que um fóton é emitido em $t=0$, e com esse exemplo ache $x'$ em função de $x$, $t$ e $v$.

f) Escreva, enfim, a relação contendo a transformação de $x_{\mu}$ em $x'_{\mu}$, escrevendo ela termo a termo e depois na forma matricial.

Obs: Pode ser útil usar que:

$\beta=\frac{v}{c}$ e $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

08-Cookie:

Uma indústria está usando uma esteira que roda numa velocidade $v$ para produzir cookies em massa. Os cookies originalmente eram pra ser perfeitamente circulares, com raio $R$, contudo os fabricantes não pensaram nos efeitos relativísticos. Usando o que você sabe, encontre qual é o novo formato do cookie e os parâmetros da curva.

09-Frequência:

Uma onda luminosa está se propagando no espaço com uma frequência $f$, numa direção que faz um ângulo $\alpha$ com o eixo $x$ no referencial $S$. Supondo que você está num referencial que está se movendo ao longo do eixo x com velocidade $v$, qual a frequência da onda pra você? Ache o resultado de duas maneiras, uma por Transformada de Lorentz e a outra por análise da onda no referencial $S$.

10-Huygens:

Considere que você tem uma barra, fazendo um ângulo $\phi$ com relação ao eixo $x$, se movendo com uma velocidade $v$ no mesmo. Uma onda eletromagnética está incidindo na barra fazendo um ângulo $\alpha$ com a normal dessa. Qual o ângulo de reflexão $\beta$ da onda e qual a frequência da onda refletida em função dos parâmetros do problema e frequência inicial? Resolva o problema usando o Princípio de Huygens, argumentos físicos e construções geométricas. Pode ser útil mostrar que:

$sen\alpha-sen\beta=\frac{v}{c}sen\phi sen(\alpha+\beta)$

11-Vários Referenciais:

Trocas de referenciais são coisas complicadas, mas com a abordagem correta e com a matemática certa o problema complicada pode ser tornar o mais simples.

a) Suponha que você tem um referencial $S_{1}$ que se move com uma velocidade $v$ em relação a $S$ no eixo $x$ e que um referencial $S_{2}$ se move com velocidade $u$ em relação a $S_{1}$ no mesmo eixo, qual a velocidade de $S_{2}$ em relação a $S$?

b) Suponha agora que você tem $n$ ao invés 2 referenciais se movendo em relação a $S$. Mostre, por indução, que a velocidade de $S_{n}$ em relação a $S$ respeita:

$\beta_{n}=\frac{P_{+}-P_{-}}{P_{+}+P_{-}}$

Onde:

$P_{+}=\prod_{i=1}^{n}(1+\beta_{i})$ e $P_{-}=\prod_{i=1}^{n}(1-\beta_{i})$

c) Encontre o $\gamma$ de um ponto $S_{2}$, medindo por $S$, em função de $\vec{\beta_{u}}$ e $\vec{\beta_{v}}$, sendo $\vec{u}$ e $\vec{v}$ não necessariamente paralelos. $S_{2}$ se move com $\vec{u}$ em relação a $S_{1}$, com $S_{1}$ se movendo com $\vec{v}$ em relação a $S$.

12-Rapidez:

Podemos interpretar uma aceleração como uma troca gradual entre infinitos referenciais inerciais. Por exemplo, imagine que você tem um referencial $S$ e um rapaz chamado Marcus, que está se movendo em relação a $S$ de maneira acelerada. Você pode falar que, num momento $t$ da terra, Marcus está num referencial $S'$, e em $t+dt$ ele está num referencial $S''$ com velocidade $a(\tau)d\tau$ em relação a $S'$. $a(\tau)$ é a aceleração própria de Marcus e $d\tau$ é um diferencial de tempo do relógio de Marcus. Encontre a velocidade de Marcus em relação a $S$ depois de ter passado um tempo $\tau$, você pode deixar o resultado em função de uma integral em $\tau$, e que Marcus em $\tau=0$ estava em repouso. Essa integral é chamada de rapidez:

$\phi=\int a(\tau) d\tau$

13-Vara e Galpão:

Marcus estava correndo, a uma velocidade $v$, com sua vara em direção a um galpão no referencial em que ele está parado. O tamanho do galpão é igual ao tamanho próprio da vara (tamanho dela no seu referencial de repouso). Por efeitos relativísticos, o tamanho da vara no referencial do galpão é menor que seu tamanho original, então é natural pensar que a vara "caberia" no galpão. Contudo, no referencial da vara, o galpão que diminuiu, então ela não cabe no galpão. O verdadeiro paradoxo está se você imaginar que Stilita, grande amigo de Marcus, está esperando logo na porta do galpão, esperando o momento que o fim da vara passar pela porta para ele a fechar. O que acontece?

a) No referencial do galpão, denote $t=0$ para representar o tempo em que o início da vara passa pela porta e $x=0$ para a porta do galpão. Em que instante de tempo o início da vara toca o fundo do galpão? Stilita já tinha fechado a porta?

b) No referencial solidário a Marcus no começo, o galpão que é comprimido. Encontre o instante nesse refencial em que a vara encosta no fundo do galpão, e o momento que Stilita fecha a porta. Disso nós teríamos que a vara caberia?

c) Existe um erro comum cometido no último item, que é considerar que o evento "vara parou", ou ganhou a mesma velocidade do galpão, é simultâneo em ambos referenciais. Se a barra tem todos os pontos desacelerados simultaneamente no referencial do galpão, então existe um delay desse freio ao longo dela no referencial solidário à vara, qual a velocidade desse delay?

d) Considerando que esse delay se propaga como uma onda no referencial $S'$, e que os pontos só vão ser afetados quando atingidos pela onda, encontre o comprimento final da vara, e se ela é fechada ou não dentro do galpão.

14-Farol:

Suponha que você tem uma estrela homogênea no qual estão ocorrendo reações que geram energia, essa estrela está emitindo, em seu referencial, radiação em todas as direções. Contudo, para um referencial em que a estrela está em movimento, o padrão de espalhamento da energia é diferente.

a) Um raio de luz emitido pela estrela faz um ângulo $\alpha$ com o eixo $x$, suponha que você está num referencial tal que você observa a estrela se movendo com uma velocidade $v$ no eixo $x$, qual o ângulo que o raio de luz citado faz com esse eixo no seu referencial?

b) Metade da radiação emitida pela estrela está num cone de radiação na sua frente, calcule o ângulo de abertura dele.

c) Qual deve ser a velocidade de um corpo para que metade de sua energia esteja num cone de $1^{\circ}$?

15-A Barra e o Buraco:

Uma barra de comprimento próprio $L$ está se movendo com uma velocidade $v$ no eixo $x$ em relação a um referencial $S$, neste mesmo referencial um buraco muito fino de comprimento próprio $L$ está em repouso em $x$. O buraco está se movendo ao longo do eixo $y$ para baixo com uma velocidade $u$, e o sistema é composto tal que, em $S$, na hora em que a barra chega na altura do buraco o centro da barra está no centro do buraco. Desta maneira, é intuitivo concluir que a barra passa pelo buraco sem colidir em nada. Contudo, no referencial $S'$, que está se movendo em $x$ junto da barra, o buraco é comprimido e a barra está no seu tamanho normal, então, temos um paradoxo?

a) Escreva as coordenadas do centro da régua e buraco no referencial $S$ em função de $t$, você pode usar que em $t=0$ o do buraco está em $x=a$ e o da barra em $x=0$.

b) Escreva as coordenadas do centro da régua e buraco no referencial $S'$.

c) Calcule o ângulo de inclinação do buraco com o eixo $x'$.

d) Considerando as coordenadas e inclinação do buraco, a barra atravessa o buraco?

16-Rigidez:

Duim, um menino de altura $L$, decide se aventurar e pula, deitado, de um penhasco:

a) Estando Duim em repouso em $t=0$, em relação a um referencial $S$, descreva seu movimento, i.e, a posição $x$ e $y$ dos pontos ao longo do seu corpo, em função do tempo, para esse referencial. Você pode usar que a gravidade vale $g$.

b) Considere agora um referencial $S'$, se movendo com uma velocidade $v$ no eixo $x$ em relação a $S$, qual a equação da altura em função de $x$ para Duim? O que de estranho aconteceu com ele? Você chegou em um absurdo?