Lista Foice 08 (Victor)

 

01-Look at Me:

Mecânica quântica é a teoria mais comprovada experimentalmente da história da ciência, contudo é uma das menos compreendidas de um ponto de vista filosófico. Um dos pontos cruciais da teoria é o colapso da função de onda, i.e, quando uma medida é realizada sobre um sistema físico, ele colapsa em um dos autoestados de valores possíveis da observável medida. A matemática que descreve o colapso da função de onda é análoga à que descreve polarizadores.

a) A luz é uma onda eletromagnética, e ondas eletromagnéticas tem um plano perpendicular à sua direção de propagação. Nesse plano seus campos elétrico e magnético oscilam. A direção no qual o campo elétrico vibra, por exemplo, define a direção de polarização da onda, e, usando desse fato, algumas propriedades da onda podem ser obtidas.

Figura 1: Direção de propagação da onda e vibração do campo elétrico e magnético

Existem diversos tipos de polarização de onda, mas a mais conhecida é a polarização linear, no qual a onda linearmente polarizada tem o campo elétrico sempre vibrando na mesma direção. Nesse contexto, vamos definir os polarizadores. Um polarizador bloqueia qualquer componente de campo elétrico que não seja paralela ao seu eixo, o chamado eixo de polarização. Você pode construir um polarizador com cadeias muito longas de atómos, mas, foquemos no que importa. Como o polarizador seleciona apenas uma direção de campo elétrico, e uma onda com polarização linear tem a direção do campo elétrico constante, o polarizador seleciona uma polarização da onda.

Figura 2: Polarizador deixando passar apenas componentes do campo elétrico que vibram em seu eixo.

Suponha uma onda que entra num polarizador com intensidade $I_{o}$, com sua direção de polarização fazendo um ângulo $\alpha$ com o eixo do polarizador. Qual a intensidade da onda que sai do polarizador?

b) Imagine agora que você estende o problema anterior, agora colocando em série dois polarizadores com eixos ortogonais entre si. Qual a intensidade da onda resultante?

c) Pelo que vimos, aparentemente uma onda eletromagnética sempre perde intensidade após passar por um polarizador. Imagine que você agora coloca, entre os dois polarizadores da questão anterior, um polarizador que tem seu eixo fazendo um ângulo $\theta$ com o do primeiro polarizador. A intensidade do feixe final aumenta ou diminui em relação ao caso antigo? Qual seu valor?

d) Imagine agora que você tem quantos polarizadores você queira. Construa um sistema de polarizadores que, ao ter uma onda passando por ele, tenha como resultado final uma onda eletromagnética com eixo de polarização rotacionado um ângulo $\alpha$ de seu eixo original, tal que a intensidade dessa onda é a maior possível.

Obs: Pode ser útil usar alguns resultados de matemática. Para $0<x<<1$:

$cos(x) \approx 1-\frac{x^{2}}{2}$ e $(1+x)^{n} \approx 1+nx$

Caso você queira um trabalho mais formal, tente manipular:

$cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+O(x^{4})$

Polarizadores são interessantes, mas pensemos agora um pouco sobre imãs. Um dos experimentos mais fundamentais da mecânica quântica foi o de Stern-Gerlach. O experimento consistia em atirar partículas, como elétrons, numa região com campo magnético não homogêneo no espaço, que era gerado por dois imãs fortes.

Figura 3: Montagem Experimental do experimento de Stern-Gerlach

Era esperado, pelo modelo de "bolas", que as partículas tivessem um momento angular próprio que vem de sua rotação em torno de seu próprio eixo. Devido a esse momento angular, e ao fato que existe uma energia de interação de partículas carregadas com spin e um campo magnético, uma força é aplicada na partícula na direção de seu momento de dipolo.

$E=-\vec{\mu} \cdot \vec{B}$ e $\mu \sim \vec{S}$ $\rightarrow$ $\vec{F} \neq 0$

Mais precisamente:

$F_{z} \approx \mu_{z} \frac{\partial B_{z}}{\partial z}$

A força gerada pelos imãs vai defletir as partículas, e assim mudar sua trajetória que era inicialmente paralela ao eixo deles. Devido a isso, as partículas vão acertar um anteparo, colocado logo a frente dos imãs. A posição que uma partícula acerta o anteparo depende de seu momento angular numa certa direção, no caso da imagem a direção $z$.

Figura 4: Deflexão de uma partícula devido à força magnética

Imaginando partículas como bolas com momento angular definido em todos eixos do espaço, era se esperado que o momento angular medido, numa dada direção, iria ter um espectro contínuo, que seria facilmente visto no experimento. Contudo, teorias falham, e o que foi medido na verdade foi que as partícula só acertavam o anteparo em duas regiões, de maneira extremamente concentrada, o que sugere apenas dois valores possíveis de momento angular na direção de medição.

Figura 5: a) Previsão da física clássica e hipótese sobre Spin. b) Observado Experimentalmente

Não importa a direção do medidor, os resultados indicam os mesmos dois picos, nas mesmas posições. Tal resultado levou à hipótese de que o spin na verdade era um valor quantizado, que só podia ter dois valores, um certo número numa direção ou em outra. Mais intrigante que isso, é que se você fizer um experimento de Stern-Gerlach em $z$, selecionar as partículas defletidas pra cima e refazer o experimento em $z$, você obterá apenas partículas defletida pra cima, o que é intuitivo. Contudo, se você fizer os mesmos passos anteriores, mas, antes de refazer o experimento em $z$, fazer o experimento em $x$ e selecionar as defletidas positivamente, você obterá um igual número de partículas defletidas em $+z$ e $-z$. A medida em $x$ apaga a informação anterior do sistema sobre o momento angular em $z$, isso é o colapso da função de onda.

Partículas com momento angular bem definido em $z$ sempre darão o mesmo resultado de momento angular medido em $z$, contudo o resultado caso você, por exemplo, meça o momento angular em $x$, é positivo ou negativo com probabilidade de $\frac{1}{2}$, é totalmente aleatório! Mais estranho que isso, quando você mede o momento angular de uma partícula em $x$, ela agora tem o momento angular bem definido na direção $x$, e seu momento angular em $z$ passa a ser indefinido, e portanto totalmente aleatório. Medidas quânticas colapsam partículas num estado bem definido das observáveis medidas, as vezes apagando toda informação antiga que estava contida no sistema.

A analogia entre medidas quânticas de spin e polarizadores fica mais clara agora. Um polarizador apaga a informação antiga sobre direção de polarização de uma onda, e em seu lugar impõe uma nova direção de polarização no seu eixo, algo parecido com o colapso da função de onda. Não apenas essa analogia existe, mas também a probabilidade de que a partícula tenha como resultado um ou outro valor de momento angular é análoga à intensidade de uma onda passando por um polarizador.

e) Imagine que você tem um sistema de polarizadores. Considere que a onda eletromagnética se propaga na direção $y$. O primeiro polarizador é alinhado com o eixo $z$ e o segundo com o eixo $x$. Qual a intensidade da onda resultante? Imagine agora que o segundo polarizador está alinhado com o eixo que faz $45^{\circ}$ com o eixo $x$ no plano $xz$, e que você coloca um terceiro polarizador alinhado com o eixo $x$, qual a intensidade da onda resultante? Faça o análogo desses dois experimentos com dois experimentos de Stern-Gerlach.

f) Aparentemente, a probabilidade que uma partícula com momento angular bem definido em uma direção colapse numa outra direção, como $z$ e $x$ no nosso exemplo, é análoga a intensidade de uma onda passando por polaróides. Supondo que a função que descreve a probabilidade de colapso do momento angular da partícula em uma direção é a mesma que descreve a intensidade relativa de uma onda passando um por polaróide, a par de no máximo alguns parâmetros diferentes, encontre a probabilidade $p(\alpha)$ de que uma partícula com momento angular em uma dada direção do espaço colapse em outra, que faz um ângulo $\alpha$ com esta, num experimento de Stern-Gerlach.

Dicas: Pode ser útil usar algumas condições que as funções devem respeitar. Na tabela abaixo, você pode ver estados iniciais $s_{o}$ e suas respectivas chances de colapsarem para os estados das colunas. Abaixo estarão os resultados análogos para polarizadores, trocando a probabilidade pela intensidade relativa $f$(intensidade final por inicial):

Tabela 1: Probabilidade de colapso em cada estado de momento angular para cada estado inicial.

Tabela 2: Intensidade relativa em cada polarização final para cada tipo de polarização inicial.

g) Imagine que você tem uma partícula com momento angular em $+x$ devido a uma medida com experimento de Stern-Gerlach. Na região que essa partícula está, existe um campo magnético constante em $z$, que faz o momento angular da partícula começar a girar (da exata maneira que iria classicamente). Qual a orientação da partícula em função do tempo? Deixe sua resposta em função do campo magnético, do momento de dipolo da partícula e do módulo permitido de seu spin, $S$.

h) Ache a probabilidade de que a partícula colapse no estado de momento angular $+x$ caso seja jogada num experimento de Stern-Gerlach após ter sido afetada pelo campo magnético por um tempo $t$.

i) Uma coisa que é levada pra frente como conhecimento popular é que você não deve olhar pra o macarrão enquanto ele está esquentando, pois enquanto você tá olhando ele não muda. Você talvez não tenha acreditado na sua mãe quando ela disse isso, mas algo desse tipo acontece em mecânica quântica. Tomando o caso anterior, em que a partícula está girando num campo magnético, e tendo você um número arbitrário de experimento de Stern-Gerlach de medida na direção $z$, construa um sistema de medição para que a partícula continue com seu momento angular em $z$ constante. Um protocolo análogo é usando em sistemas quânticos para que eles não mudem seu estado aleatoriamente devido a interações com o ambiente.

02-Einstein e Bohr:

Um caso conhecido de discussão entre Einstein e Bohr foram os temas da mecânica quântica, contudo um desses embates ficou razoavelmente conhecido. Para entender o contexto, se precisa entender primeiro o que é a relação de incerteza de energia e tempo.

a) Imagine uma onda se propagando pelo espaço. Essa onda é em geral composta de contribuições de ondas de diferenças frequências, e para que esse pacote de diferentes frequências se propague construtivamente e coerentemente, deve valer que, tendo o pacote um range de frequência de $\Delta \nu$:

$\Delta \nu \Delta t \geq 1$

Onde $\Delta t$ é o tempo de vida do pacote. Demonstre disso, a relação de incerteza de Heisenberg entre energia e tempo:

$\Delta E \Delta t \geq h$

b) Agora olhemos para a discussão de Einstein. Einstein estava bastante incomodado com a teoria quântica, e em uma de suas tentativas de refutação ele propôs um experimento mental. Nesse experimento, uma caixa com um ponteiro e um registro de tempo (relógico) é presa a uma mola, que está em equilíbrio. Num certo instante de tempo, registrado pelo relógio, um fóton é emitido pela caixa, e da relação de Einstein se deve ter que a massa da caixa diminuiu e ela sai do equilíbrio. Colocando uma massa $\Delta m$ para equilibrar o sistema, se deve ter o equilíbrio na posição inicial se essa massa for igual à que foi perdida para o fóton.

Figura 1: Balança de Einstein.

Dessa maneira, se pode encontrar com precisão arbitrária a massa e tempo $t$ que o fóton é lançado. Portanto, a relação de incerteza de energia e tempo é violado? Adicionando a massa, ela não volta, em geral, exatamente para a posição inicial, mas está longe dessa por uma incerteza $\Delta x$. Ademais, a massa adicional adiciona um momento ao sistema de $\Delta p$. Expresse a relação entre a incerteza de posição e momento, como também uma desigualdade em $\Delta p$ em função da massa adicional $\Delta m$, do tempo de realização da estabilização $t$ e da gravidade $g$.

c) Expresse a incerteza no tempo da medição do relógico em função da incerteza da posição da medida. Use o efeito de dilatação do tempo gravitacional.

d) Junte todas suas expressões pra mostrar que ainda vale a relação:

$\Delta E \Delta t \geq h$

03-Cordinha:

Considere um cilindro preso a uma parade por uma corda, que está enrolada nele, e também que o cilindro está rolando sem deslizar por cima de uma superfície que está se movendo com $v$. Encontre a velocidade do eixo do cilindro como função de $v$ e $\alpha$.

Figura 1: Cilindro sendo puxado pelo cilindro e desenrolado da corda.

04-Mais cordinhas:

Considere uma corda de formato especial. Essa corda é feita tal que, fixado um ponto $x_{o}$, quando esse ponto é queimado o fogo, que se propaga pela corda com $v$, sempre chega a qualquer ponto da corda ao mesmo tempo que a onda de pressão liberada pelo fogo, a onda se propagando com $c$. Encontre o formato da corda.

05-Faster than Light?:

Considere um ponto $P$ no espaço que se move com uma velocidade $v$ no espaço. A velocidade desse ponto faz um ângulo $\theta$ com o vetor que liga esse ponto a um outro, chamado $O$. Encontre a velocidade aparente que $P$ tem para $O$. Em que condições existe $\theta$ tal que essa velocidade é maior ou igual a $c$? Qual ângulo para essa velocidade ser $c$?

06-Localidade e Causalidade:

Mostre que, se um evento $A$ implica um acontecimento $B$ e um $C$, mostre que a ordem que esses acontecimentos são percebidos por, por exemplo, um ponto $D$ no espaço, é invariante. Mostre como exemplo uma implicação relevante disso.

07-Deu ruim:

Imagine que presidente Bula está tendo que esconder sua quantia imensa de ferro roubado dos impostos dos cidadões de bem. Com programas como Prénal ele tem acesso a máquinas de escavar o mar, e você usa isso pra esconder sua fortuna debaixo do manto marítimo.

Figura 1: Plano perfeito

Contudo, um físico muito observador percebeu que perto de certa região do mar (no qual Bula escondeu seu ferro), o nível dele é menor, indicando que há uma densidade maior perto dessa região do espaço. Qual formato da água considerando que o ferro tem uma densidade maior que a do manto marítimo por $\Delta \rho$? Qual desnível do ponto da superfície imediatamente acima do centro da esfera em relação a um outro infinitamente distante da esfera? Você tem parâmetros como a gravidade terrestre $g$, raio $r$ da esfera e espessura inicial $h$ do manto.

08-O retorno do Herói:

Homem Super está passeando normalmente pelo mundo (depois de ter derrubado a base de seu arqueinimigo) até que se depara com algo estranho no mar. Aparentemente o mar está com uma densidade de carga não nula, devido a vazamentos estranhos de alguns depósitos de ferro. Homem Super tem o super poder de obter uma carga $-q$ do nada. Imaginando que ele está a uma altura $H$ da superfície original do mar, qual é o formato da superfície do mar agora? Qual a altura do monte formado logo abaixo de Homem Super? Qual deve ser a distância mínima de Homem Super para começar a sugar a água carregada e purificar o mar? A densidade de massa do mar vale $\rho_{m}$, de carga vale $\rho_{e}$ e a gravidade local vale $g$.

09-Pleysteitiou:

Yuli está perdendo audiência no seu programa semanal, Boa Noite Açoite, e precisa fazer algo a respeito disso. Ele andou lendo alguns posts do fatos desconhecidos e viu que as crianças estão se interessando em rodas que emitem água girando. Yuli percebeu que isso combinaria perfeitamente com sua roleta do Boa Noite Açoite, e as crianças ficariam ainda mais animadas para obter Pleysteitious.

Figura 01: Instrumento do Yuli

a) O plano inicial de Yuli é construir um tubo de área $S_{1}$ que vai levar água de um reservatório até a roda em si, que está a uma altura $h$ do nível d'água. A roda de yuli é dividida em seções, e cada uma tem um buraco por qual a água é forçada a passar, pois a roda está girando muito rápido. A soma das secções dos buracos da roda é $S_{2}$. Encontre a pressão nos extremos da roda caso os buracos estejam fechados. A roda gira com frequência angular $\omega$, a densidade da água é $\omega$ e a gravidade vale $g$

b) Agora considere que Yuli abre as buracos e a água pode enfim fluir, fazendo o espetáculo que ele queria. Qual a velocidade com que a água sai da roda, quando medida por alguém na terra? A pressão atmosférica vale $p_{o}$.

c) Yuli se empolgou demais com a rotação da roda e agora parte do fluido está indo para a fase gasosa, no fenômeno da cavitação. Encontre qual a frequência mínima para que isso comece a acontecer. A pressão de vapor d'água vale $p_{k}$.

d) Apelar a novos métodos não deu certo, então Yuli desistiu da TV e vai começar uma plantação de milho. Por algum motivo, é útil pra Yuli levar água pra o nível superior da roda, e ele quer fazer isso com a maior taxa possível por segundo, isto é, máxima vazão volumétrica $\mu$. Sabendo que a potência que Yuli usa pra girar a roda é $P$, qual máximo valor teórico de $\mu$?

10-Diodo:

O diodo é um elemento do circuito que, idealmente, tem resistência nula para tensões positivas (decrescem ao longo de sua seta) e infinita para negativas.

a) Considere o circuito da figura a seguir:

Figura 1: Primeiro circuito, com terminal de entrada, saída e terra.

Com o diodo ideal, e a chave ligada por um período de tempo $\tau_{c}$ e depois desligada, plote a corrente no indutor e no diodo em função do tempo. As tensões de saída $U_{i}$ e $U_{o}$ são constantes, e o terminal abaixo é o terra. Também vale dizer que $U_{o}>2U_{i}$

b) Plote agora o gráfico para o caso em que a chave é ligada e desligada periodicamente, do jeito descrito no item anterior. Qual corrente média no diodo?

c) Considere agora esse circuito:

Figura 2: Circuito análogo, mas agora com um capacitor para regular as flutuações de tensão e um resistor para rodar a corrente.

Mantendo o mesmo padrão do item b, calcule a voltagem em $R$ no estado estacionário. Assuma que $\tau_{c}<<RC$ e que a variação de tensão no capacitor é desprezível ao longo do processo todo.