Matemática-Ideia 04 (Somatórios em Álgebra)

Escrito por Samuel Prieto

Um truque em Somas Telescópicas

Somas telescópicas são uma parte fundamental no estudo de sequências, funções geratrizes e até teoria dos números, por isso apresentamos alguns resultados úteis antes do personagem principal deste artigo:

Resultados importantes:

1.  

   $$\sum_{i=1}^{n} i = 1+2+3+4+...+n = \frac{(n)(n+1)}{2}$$

2.  

   $$\sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2+2^2+3^2+...+n^2 = \frac{(2n-1)(n-1)(n)}{6}$$

3.  

   $$\sum_{i=0}^{n}x^i = 1+x+x^2+...+x^{n-1}+x^n = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$

A Demonstração  é deixada como exercício para o leitor, visto que I e II são facilmente demonstrados com indução e III é obtido apenas com manipulação algébrica.Vamos então para o principal truque deste Artigo:

Exemplo 1: (a) Compute o valor de:

$$\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^2+n}$$

                       (b)Compute o valor de:

 

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+n}$$

Solução: Temos um problema em que há um polinômio no denominador de uma fração. Em casos como esse é sempre uma boa idéia seria fatorar esse polinômio como o produto de suas raízes, e neste exemplo é conhecido o fato de que as raízes de $n^2+n$ são $0$ e $-1$. Temos então:

$$\frac{1}{n^2+n}= \frac{1}{(n)(n+1)}$$

Podemos separar $\frac{1}{(n)(n+1)}$ como $\frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}$, para alguns A, B. Vamos encontrar A e B então:

$$\frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} = \frac{A(n+1) + B(n)}{(n+1)(n)} =\frac{n(A+B) + 1(A)}{(n)(n+1)}.$$

Como queremos:

$$\frac{1}{(n)(n+1)}=\frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}=\frac{n(A+B) + 1(A)}{(n)(n+1)}$$

Devemos ter:

$$n(A+B) + 1(A) = 1$$

Logo:

$$A+B=0$$

$$A=1$$

Resolvendo o sistema encontramos $A=1, B=-1$, logo:

$$\frac{1}{(n)(n+1)}=\frac{1}{n} +\frac{(-1)}{n+1}=\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

$$\Rightarrow \sum_{n=1}^m \frac{1}{n^2+n} = \sum_{n=1}^m (\frac{1}{n} - \frac{(1)}{n+1}) = \sum_{n=1}^m (\frac{1}{n}) - \sum_{n=1}^m (\frac{1}{n+1}) =\sum_{n=1}^m (\frac{1}{n}) -\sum_{n=2}^{m+1} (\frac{1}{n})=$$

$$(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ ...\frac{1}{n})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ ...\frac{1}{m+1})=\frac{1}{1} - \frac{1}{m+1}$$

E encontramos nossa resposta para a letra (a). Para a letra (b) basta:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+n}=1-\frac{1}{\infty +1} = 1-0 = 1$$

Exemplo 2: Compute:

$$S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7n+32}{n^2+2n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n$$

Solução: Usando o método descrito, vamos separar a fração em duas, e depois o resultado segue de manipulação algébrica

$$\frac{7n+32}{n^2+2n}=\frac{16}{n} - \frac{9}{n+2}$$

$$\Rightarrow S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7n+32}{n^2+2n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{16}{n} - \frac{9}{n+2} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{16}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n\right) - \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{9}{n+2} \cdot\ \left( \frac{3}{4} \right)^n\right)=$$

Observe que:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{9}{n+2} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n\right)=\sum_{n=3}^{\infty} \left(\frac{9}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{n-2}\right) = \sum_{n=3}^{\infty} \left(\frac{9}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{n} \cdot \left(\frac{3}{4} \right)^{-2} \right) =\sum_{n=3}^{\infty} \left( \frac{9}{n} \cdot \left(\frac{16}{9} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{n} \right)=\sum_{n=3}^{\infty} \left(\frac{16}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{n} \right)$$

Logo:

$$S=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{16}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n\right) - \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{9}{n+2} \cdot\ \left( \frac{3}{4} \right)^n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{16}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n\right)-\sum_{n=3}^{\infty} \left(\frac{16}{n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n\right)=\frac{16}{1}\cdot (\frac{3}{4})^1+\frac{16}{2}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2= 12+\frac{9}{2}=\frac{33}{2}.$$

 Exercícios: 

1. Prove os resultados (I),(II),e (III), apresentados no começo deste artigo.
2. Compute : $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2+i}$
3. Compute : $\sum_{i=1}^n \ln \left(\frac{i+2}{i}\right)$