Escrito por Brendon Borck:
Um lema algébrico utilizado em desigualdades e disseminado através do matemático pelo qual o lema recebe seu nome. O lema de Titu nos oferece uma segunda maneira de utilizar a desigualdade de Cauchy:
Prova:
A prova é simples e consiste no rearranjo da desigualdade de Cauchy:
Basta substituir e e a desigualdade torna-se:
Para finalizar passe a soma de para o "outro lado" multiplicando.
Mas e a prova da desigualdade de Cauchy? Sua prova usual consiste em expansão de quadrados.
Considere a função
Expandindo teremos:
Como já que é uma soma de quadrados, então o discrimante é menor ou igual a zero. Essa última desigualdade é suficiente para encontrarmos Cauchy após a expansão.
(Esse é um bom jeito de provar Cauchy, já que é mais fácil enxergar sua igualdade. Dica: ela ocorre quando o determinante é zero, ou seja, F(j) precisaria ser zero e portanto todos quadrados que compõem sua soma também.
Problemas:
- Se , então: .
- (África do Sul - 95) Se são reais positivos prove que:
- (Desigualdade de Nesbitt) Se , então: .
- Se são reais positivos. Denote como a soma de todos eles, então prove que:
- (IMO - 95) Se e , então: .