Matemática-Ideia 07 (Somatórios e Produtórios em T.N.)

Escrito por Samuel Prieto

Somatórios e produtórios (mod p)

Vários resultados não triviais podem ser provados com métodos simples de manipulação de somas e produtos, e alguns destes serão apresentados nesse artigo.

Exemplo 1: (Teorema de Wilson)Seja $p \ge 5$ primo. Prove que :

$$S= \prod_{i=1}^{p-1} i \equiv (-1) \pmod p$$

Solução: Um truque muito útil em questões como estas é usar o fato de que cada número em $\{ 1,2,\dots,p-1\}$tem um inverso multiplicativo $\pmod p$, ou seja:

$$\forall 1 \leq i \leq p-1, \exists i^{-1} \backslash \text{ } i \cdot i^{-1} \equiv 1 \pmod p$$

Sabemos que o inverso de $1$ é $1$ e o inverso de $-1$ é $-1$. Já para todos outros $2 \leq i \leq p-2$, o inverso de $i$ deve ser diferente de $i$, logo podemos agrupar todos $2\cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots p-2$ com seu inverso multiplicativo, logo:

$$S'= \prod_{i=2}^{p-2} i = 2\cdot 3\cdot \dots \cdot (p-2) \equiv 1 \pmod p$$

$$\Rightarrow S = S'\cdot 1\cdot (-1) \equiv (-1) \pmod p$$

Como queriamos demonstrar.

Exemplo 2: (Teorema de Fermat) Seja um número primo $p$ e $a$ um inteiro tal que $p\nmid a$. Logo:

$$a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$$

Demonstração: Sejm $S=\{1,2,\dots ,p-1 \}$ e $S'=\{1\cdot a,2\cdot a, \dots, (p-1)\cdot a \}$. Como $i\equiv j \pmod p\iff a\cdot i \equiv a\cdot j \pmod p$ ,fica claro que $S\equiv S'$, logo:

$$\prod_{x\in S} x \equiv \prod_{x\in S'} x \pmod p\Rightarrow (p-1)! \equiv a^{p-1} \cdot (p-1)! \pmod p\Rightarrow a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$$

E está completa a demontração.

Exercícios: 

1.Prove que para $p\ge 5$, primo:

1. $$p\mid \sum_{i=1}^{p-1} i$$

2. $$p\mid \sum_{i=1}^{p-1} i^2$$

2. (Teorema de Wholstenholme)  Seja $p \ge 5$ primo, prove que $p^2$ divide o numerador de:

$$\sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i} = 1+\frac 12 +\frac 13 +\dots \frac{1}{p-1}$$

3.(**)Demonstre que se $p \ge 3$ primo, então :

$$p^3\mid \binom{2p}{p}-2$$

(Se quer uma dica nesse, veja nosso artigo sobre Identidade de Vandermonde)