Soluções Física – Semana 78

Devido à esfera estar parcialmente mergulhada em água, as pressões resultaram em uma força denominada empuxo.

A partir do teorema de Arquimedes, temos que:

$F_{emp} = \rho_{liq}V_{sub}g$

$F_{emp} = \frac{\rho_{liq}}{8}*\frac{4\pi}{3}*r^{3}g$

Substituindo:

$F_{emp} = 10^{3}*\frac{1}{8}*\frac{4\pi}{3}*(\frac{2}{100})^{3}*10$

$F_{emp} = \frac{4\pi}{3}10^{-2}$ $N$

$F_{emp}=\frac{4\pi}{3}10^{-2}$ $N$

A massa $m$ gerará um campo gravitacional em todo o espaço, o objetivo dessa questão é calcular o fluxo dessa questão em torno de várias placas em diferentes situações.

a) O campo gravitacional gerado por uma partícula de massa $m$ em um ponto do espaço é dado por:

$\vec{g} = -\frac{Gm}{r^{2}}\hat{r}$

Onde $r$ é a distância desse ponto até a partícula e seu valor é negativo pois aponta do ponto para a partícula.

Pela definição de Fluxo, temos que:

$\phi=\vec{g}\cdot\vec{a}$

Onde $\vec{a}$ é o vetor área que é perpendicular à área por onde passa o vetor $\vec{g}$.

Para calcular este fluxo, vamos buscar uma forma espacial que ao longo de toda sua superfície o módulo do campo gravitacional é constante. Para isto, já que $g$ possui uma dependência apenas no caráter radial para uma mesma massa, qualquer ponto deste formato deve estar equidistante da massa. Logo, obtém-se que esse formato é o de uma esfera, com a massa $m$ no seu centro.

O fluxo então total gerado por essa partícula nesta superfície é:

$\phi_{esf} = (-\frac{Gm}{r^{2}}\hat{r})\cdot(4\pi r^{2} \hat{r})$

$\phi_{esf} = -4\pi Gm$

Com isso, para calcular o fluxo gerado por essa partícula na placa, basta imaginar que esta placa é uma das faces de um cubo de mesmo lado $l$, que está inscrito numa esfera centrada na massa $m$.

Pela simetria cúbica, o fluxo que passa por cada uma das faces do cubo é o mesmo, e somando todos estes fluxos deve-se obter o valor do fluxo pela esfera, logo:

$\phi_{cubo} = \phi_{esf}$

$6\phi_{placa} = \phi_{esf}$

$\phi_{placa} = \frac{\phi_{esf}}{6}$

$\phi_{placa} = -\frac{4\pi Gm}{6}$

$\phi_{placa} = -\frac{2\pi Gm}{3}$

b) Neste caso, para se obter uma simetria de um cubo inscrito na esfera, deve-se fazer um cubo de lado $2l$, onde a placa corresponde à $\frac{1}{4}$ de uma das faces do cubo. Novamente, o fluxo que passa por cada uma das faces do cubo é o mesmo, e somando-os deve dar igual ao que se passa na esfera. Mas também se tem que o fluxo que passa na placa é $\frac{1}{4}$ do fluxo que passa pela face, pois pode se obter esta face ao juntar 4 destas placas, logo:

$\phi_{cubo} = \phi_{esf}$

$6\phi_{face} = \phi_{esf}$

$6*4\phi_{placa} = \phi_{esf}$

$\phi_{placa} = \frac{\phi_{esf}}{24}$

$\phi_{placa} = -\frac{4\pi Gm}{24}$

$\phi_{placa} = -\frac{\pi Gm}{6}$

Note que esse é o fluxo para placas opostas à carga e, para placas que estejam no mesmo plano que a carga, o fluxo será zero, pois o campo gravitacional será sempre perpendicular ao vetor área, logo:

$\phi_{placa'}=0$

$\phi_{placa}=-\frac{\pi Gm}{6}$

$\phi_{placa'}=0$

O fóton colidirá com o elétron e, devido à isso, terá sua quantidade de movimento modificada. Sendo a quantidade de movimento relacionada com o comprimento de onda pela relação de De Broglie.

Definindo o sistema de coordenadas onde os eixos X e Y correspondem à linha da trajetória do fóton antes da colisão e à perpendicular dessa trajetória, respectivamente.

O fóton que antes apresentava frequência $f$ e momento $P$ colide com o elétron, passa a ter uma frequência $f^{'}$ e momento $P^{'}$, sendo desviado de um ângulo $\theta$ em relação ao eixo X. O elétron com massa de repouso $m$ recebe então um momento $P_{e}$.

Conservando-se a Quantidade de Momento:

$\vec{P} = \vec{P}' + \vec{P}{e}$

Conservando a Energia do sistema:

$hf + mc^{2} = hf^{'} + \sqrt{(P_{e}c)^{2} + (mc^{2})^{2}}$

Com essas equações, temos que:

$\vec{P} = \vec{P}' + \vec{P}_{e}$

$\vec{P} - \vec{P}' = \vec{P}_{e}$

$P_{e}^{2} = P^{2} + P^{'2} - 2PP^{'} cos(\theta)$

Como $P = \frac{hf}{c}$ e $P^{'} = \frac{hf^{'}}{c}$:

$P_{e}^{2} = \frac{h^{2}}{c^{2}}(f^2 + f^{'2} - 2ff^{'}cos(\theta))$

Desenvolvendo a equação da energia:

$hf + mc^{2} = hf^{'} + [(P_{e}.c)^{2} + (mc^{2})^{2}]^1/2$

$h(f-f^{'} ) + mc^{2} = [(P_{e}.c)^{2} + (mc^{2})^{2}]^1/2$

$[h(f-f^{'} ) + mc^{2}]^{2} = [(P_{e}.c)^{2} + (mc^{2})^{2}$

$h^{2}(f-f^{'} )^{2} +2h(f-f^{'} )mc^{2} + m^{2}c^{4}= P_{e}^{2}c^{2} + m^{2}c^{4}$

Substituindo $P_{e}$:

$h^{2}f^{2} - 2h^{2}ff^{'} + h^{2}f^{'2} + 2h(f-f^{'} )mc^{2} = h^{2}f^{2} - 2h^{2}ff^{'} cos(\theta) + h^{2}f^{'2}$

$2hfmc^{2} - 2hf^{'} mc^{2} - 2h^{2}ff^{'} = - 2h^{2}ff^{'} cos(\theta)$

$fmc^{2} - f^{'} mc^{2} - hff^{'} = - hff^{'}cos(\theta)$

$f^{'} [hf(1 - cos(\theta)) - mc^{2}] = fmc^{2}$

Substituindo $f = \frac{c}{\lambda}$ e $f^{'} = \frac{c}{\lambda^{'}}$:

$\frac{c}{\lambda^{'}}[\frac{hc}{\lambda}(1 - cos(\theta) + mc^{2}) = \frac{c}{\lambda}mc^{2}$

$\lambda^{'}mc^{2} = hc(1 - cos(\theta)) + \lambda mc^{2}$

$\lambda^{'} = \lambda + h/(mc)(1 - cos(\theta))$

$\lambda^{'} = \lambda + h/(mc)(1 - cos(\theta))$