Semana 47 (30 de abril de 2019)

Iniciante

Considere n quadradinhos de área um cada. Prove que não é possível cobrir um círculo de área n com esses quadradinhos de modo que nenhuma parte do círculo fique descoberta.

Intermediário

Considere um tabuleiro 2n\ \text{x} 2m de modo que cada célula do tabuleiro foi colorida de uma dentre 4 cores. Essa coloração satisfaz a condição que em qualquer 2 \text{x} 2 contido no tabuleiro as 4 cores aparecem.
Prove que as 4 cores dos cantos do tabuleiro são distintas.

Avançado

Sejam a,b inteiros positivos ímpares e distintos. Colorimos aleatoriamente todos os números inteiros com 4 cores. Prove que existem dois inteiros x,y de mesma cor satisfazendo

x-y \in \{a,b,a+b,a-b\}