Semana 50 (21 de maio de 2019)

Iniciante

Prove que existem infinitos números primos que deixam resto $1$ na divisão por $4$.

Intermediário

Dados $n$ pontos no plano em posição geral, prove que o número máximo de segmentos que podem ser traçados com extremidades nesses pontos de modo que não apareçam triângulos é, no máximo, $n^2$.

Avançado

Seja $f$ uma função dos inteiros nos inteiros satisfazendo a identidade

$f(m)+f(n)+f(f(m^2+n^2))=1$

para todos inteiros $m,n$. Prove que se $f(2019)-f(2018)=3$, então há inteiros $a,b$ com $f(a)=f(b)+1$.