SEMANA 51 (28 DE MAIO DE 2019)

Iniciante

Os números 1,2,…,14 estão escritos em alguma ordem ao redor de uma circunferência. Chamamos de lindo um número que é a soma de seus dois vizinhos. Qual é a maior quantidade de números lindos que pode haver?
Dê um exemplo para a quantidade máxima de números lindos e explique por que não pode haver mais deles.

Intermediário

Seja ABCD um quadrilátero inscritível no círculo $\omega$ com $\overline{AC} \perp \overline{BD}$.  Sejam $E$ e $F$ as reflexões de $D$ pelas linhas $BA$ e $BC$, respectivamente, e seja $P$ a intersecção das linhas $BD$ e $EF$. Suponha que o circuncirculo de$\triangle EPD$ encontra $\omega$ em $D$ e $Q$, e o circuncirculo de $\triangle FPD$ encontra $\omega$ em $D$ e $R$. Mostre que $EQ = FR$.

Avançado

A sequência de funções {f_n(x)}_{n\geq1} é definida recursivamente como segue:

f_1(x)=\sqrt{x^2+2} , f_{n+1}(x)=\sqrt{x^2+6f_n(x)}

para todo inteiro n\geq 1. Para cada inteiro positivo n, encontre todas as soluções reais da equação f_n(x)=2x.