SEMANA 52 (04 DE JUNHO DE 2019)

Iniciante

Um triângulo acutângulo $ABC$ é dado no plano. O círculo de diâmetro $AB$ intersecta a altura $CC'$ e sua extensão nos pontos $M$ e $N$, e o círculo de diâmetro $AC$ intersecta a altura $BB'$ e sua extensão em $P$ e $Q$. Prove que os pontos $M$, $N$, $P$ e $Q$ pertencem a um mesmo círculo.

Intermediário

Sejam $m, n$ inteiro positivos com $m>1$. Anastásia particiona os inteiros $1, 2, ..., 2m$ em $m$ pares. Boris então escolhe um inteiro de cada par e calcula a soma dos inteiros escolhidos. Prove que Anastásia pode escolher os pares de maneira que Boris não pode fazer com que tal soma seja igual a $n$,

Avançado

Considere a sequência {$a_n$}$_{n\geq1}$ definida como segue:

$a_1=1$ , $a_{2k}=1+a_k$, $a_{2k+1}=1/a_{2k}$

para todo $k \geq 1$. Prove que todo número racional positivo aparece na sequência $a_n$ exatamente uma vez.