SEMANA 53 (11 DE JUNHO DE 2019)

Iniciante

Determine o menor inteiro positivo $n$ tal que é possível cobrir totalmente (e sem sobreposições) um tabuleiro $n \times n$ com peças $1 \times 5$ e $3 \times 3$ utilizando ao menos uma de cada um desses dois tipos de peça (o $1 \times 5$ pode estar tanto na vertical quanto na horizontal).

Intermediário

Seja $x$ um inteiro positivo tal que o primeiro dígito (da esquerda pra direita) na base $10$ de cada um dos números $x^1, x^2, ..., x^{100}$ é $d$. É necessariamente verdade que $d=1$ ?

Avançado

Seja $ABC$ um triângulo e $(X,Y)$, $(W,Z)$ pares de conjugados isogonais a respeito de $ABC$. Se $P= XW \cap YZ$ e $Q= XZ \cap YW$, prove que $(P,Q)$ também é um par de conjugados isogonais.