Problemas Aula 1.0 - Vetores

Escrito por Akira Ito

Alguns problemas para você praticar a teoria estudada. O grau de dificuldade dos problemas está indicado com asteriscos (*). Problemas com 1 asterisco é o equivalente a um problema de primeira fase de OBF, 2 asteriscos (**) um de segunda fase, e 3 asteriscos (***) um de terceira fase.

Problema 01 *

Na figura abaixo, temos três vetores $a$ , $b$ e $c$ representados pelas setas pretas. Com base em seus conhecimentos, assinale a alternativa que relaciona corretamente os vetores:

a) $\vec{a} = \vec{c} + \vec{b}$

b) $\vec{a} - \vec{b} = - \vec{c}$

c) $2\cdot \vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$

d) $\vec{a} + \vec{b} = - \vec{c}$

e) $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} =\vec{0}$

Solução

Pela propriedade de adição geométrica de vetores, para somar um vetor $\vec{V}$ com um vetor $\vec{U}$ , basta alinhar a ponta de do vetor $\vec{V}$ com a base do vetor $\vec{U}$ e ligar a base de $\vec{V}$ com a ponta de $\vec{U}$ , conforme ilustra a figura. Assim, podemos escrever a relação $\vec{V}+\vec{U}=\vec{W}$

Dessa forma, note que os três vetores fecham um triângulo, de forma que podemos escrever a relação $\vec{a} + \vec{b} = - \vec{c}$ . Portanto a alternativa correta é a letra d). Note que podemos alterar a equação para que fique na forma $\vec{a} + \vec{b}+ \vec{c}=\vec{0}$ .

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Gabarito

Letra d)

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Problema 02 *

Imagine uma série de n vetores organizados de forma que eles formam um polígono fechado de n lados conforme ilustra a figura. Prove que a expressão abaixo é válida.

$\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}+ ... + \vec{v}_{n} = \vec{0}$

Solução

Existem várias possíveis maneiras de explicar a expressão acima. Um exemplo é o seguinte:

Vamos fazer a adição dos vetores "de frente para trás". Imagine apenas os últimos dois vetores $\vec{v}_{n}$ e $\vec{v}_{n-1}$ sendo somados. Isso resultará em um vetor resultante que une a ponta do vetor $\vec{v}_{n-2}$ até a base do vetor $\vec{v}_{1}$ . No fim do processo, obtemos um polígono com $n-1$ lados.

Podemos repetir esse processo várias vezes até obter um polígono com apenas 3 lados.

Isso vai resultar na resposta do item anterior, que confirma $\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}+ ... + \vec{v}_{n} = \vec{0}$ .

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Gabarito

Veja a solução para conferir a demonstração!

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Problema 03 **

Um polígono regular de muitos lados é formado a partir de vários vetores de módulo igual, mas direções diferentes, conforme a figura abaixo ilustra:

Porém, o último vetor tem o seu sentido invertido. Quanto vale o módulo do vetor resultante da soma de todos os lados do polígono?

Solução

Inicialmente temos o diagrama abaixo representando o nosso problema:

Podemos representar a soma vetorial com a seguinte expressão:

$\vec{S}=\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}+...+\vec{a}_{n-1}-\vec{a}_{n}$

Note que não podemos simplesmente chamar todos os vetores de $\vec{a}$ pois eles possuem direções e sentidos diferentes. Imagine agora que nós vamos somar e subtrair o vetor $\vec{a}_{n}$ , que é o vetor em vermelho. O diagrama para esse processo está representado abaixo:

$\vec{S}=\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}+...+\vec{a}_{n-1}-\vec{a}_{n} +(+\vec{a}_{n}-\vec{a}_{n})$

Note como agora nós temos um polígono fechado com a seta azul. Usando o resultado do problema anterior, podemos concluir que a resultante de todo o polígono é nula e restam apenas os dois vetores $-\vec{a}_{n}$ :

$\vec{S}=(\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}+...+\vec{a}_{n-1}+\vec{a}_{n})-\vec{a}_{n}-\vec{a}_{n}$

$\vec{S}=-2\vec{a}_{n}$

Logo, a resultante possui módulo $\vert \vec{S} \vert=2a$ .

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Gabarito

$\vert \vec{S} \vert=2a$

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Problema 04 *

Quatro vetores de fórça estão representados abaixo como lados de um quadrado. Sabendo que o módulo de um dos vetores vale $10\,\textrm{N}$ , calcule a força resultante.

Solução

Podemos separar os lados do quadrado a fim de formar duas diagonais, que estão marcadas em vermelho. Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

$l = \sqrt{10^2 + 10^2}$

$l=10\sqrt{2}$

Como temos dois vetores vermelhos, basta multiplicar o resultado encontrado por dois:

$F_{res}=20\sqrt{2}\,\textrm{N}$

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Gabarito

$F_{res}=20\sqrt{2}\,\textrm{N}$

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Problema 05 *

Seis vetores de fórça de módulo igual e direções diferentes estão representados como lados de um hexágono regular. Sabendo que o módulo de um único vetor vale $10\,\textrm{N}$ , calcule a força resultante.

Solução

Vamos dividir a soma em duas partes. Considere a metade superior do hexágono representada abaixo. A resultante está representada em azul:

Já que se trata de um hexágono regular, podemos dividir seu interior em triângulos equiláteros, de forma que a resultante dessa metade tenha um módulo de $20$ N, já que equivale a 2 lados do hexágono. Como o processo para a metade inferior é exatamente o mesmo, a resultante vale $\vec{F}_R=40$ N.

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Gabarito

$\vert \vec{F}_R \vert =40\,\textrm{N}$

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Problema 06 *

Cinco vetores de fórça estão representados abaixo como lados e diagonais de um hexágono regular. Sabendo que o módulo do vetor $\vec{c}$ vale $80\,\textrm{N}$ , calcule a força resultante.

Solução

Podemos movimentar os vetores e alinhá-los com os vértices do hexágono a fim de formar os diagramas abaixo. Note que:

$\vec{a}+\vec{d}=\vec{c}$

E também:

$\vec{b}+\vec{e}=\vec{c}$

Logo a resultante vale:

$\vec{F}_R=3\vec{c}=240\,\textrm{N}$

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Gabarito

$\vert \vec{F}_R\vert=3\vert\vec{c}\vert =240\,\textrm{N}$

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Problema 07 *

(OBF) Use as letras “E” ou “V” para identificar, respectivamente, as grandezas físicas escalares e vetoriais.

velocidade
comprimento
volume
capacidade térmica
impulso de uma força

A sequência correta é a representada por:
a) V-E-E-E-V

b) V-E-V-E-V

c) E-E-E-E-V

d) E-V-V-V-E

e) V-V-V-E-E

Solução

Vamos analisar as grandezas individualmente e verificar se elas são vetoriais ou escalares:

Velocidade: Vetorial

A velocidade depende do deslocamento de acordo com a expressão:

$\vec{v}=\dfrac{\Delta \vec{S}}{\Delta t}$

O deslocamento é uma grandeza vetorial e, consequentemente, a velocidade também.

Comprimento: Escalar

Comprimento, diferentemente do deslocamento, não carrega uma noção de direção. Apenas o módulo é relevante quando tratamos de comprimentos e por isso é classificado como grandeza escalar.

Volume: Escalar

Novamente, não possui direção nem sentido, portanto é uma grandeza escalar.

Capacidade Térmica

Novamente, não possui direção nem sentido, portanto é uma grandeza escalar.

Impulso de uma Força

O impulso pode ser representado com a expressão:

$\vec{I}=\vec{F}\cdot \Delta t$

Note como ele depende de uma força, que é vetorial. A direção do impulso é relevante no estudo de um determinado sistema, por isso é classificado como grandeza vetorial. Portanto, a resposta é letra a).

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Gabarito

Letra a)

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Problema 08 *

(OBF) Três forças atuam sobre um corpo em equilíbrio estático. Sejam $F_1$ , $F_2$ e $F_3$ as magnitudes das forças atuantes sobre o corpo. A relação entre as forças e os ângulos mostrados na figura é:

a) $\dfrac{F_1}{\sin{\theta}_{23}}=\dfrac{F_2}{\sin{\theta}_{31}}=\dfrac{F_3}{\sin{\theta}_{12}}$

b) $\dfrac{F_1}{\sin{\theta}_{31}}=\dfrac{F_2}{\sin{\theta}_{23}}=\dfrac{F_3}{\sin{\theta}_{12}}$

c) $\dfrac{F_3}{\sin{\theta}_{23}}=\dfrac{F_2}{\sin{\theta}_{31}}=\dfrac{F_2}{\sin{\theta}_{12}}$

d) $\dfrac{F_3}{\sin{\theta}_{23}}=\dfrac{F_2}{\sin{\theta}_{31}}=\dfrac{F_1}{\sin{\theta}_{12}}$

e) $\dfrac{F_3}{\sin{\theta}_{23}}=\dfrac{F_1}{\sin{\theta}_{31}}=\dfrac{F_2}{\sin{\theta}_{12}}$

Solução

No caso de equilíbrio estático, a força resultante é zero. De tal modo que, pela regra do polígono, podemos fazer a seguinte figura:

Pela lei dos senos, vemos que, então:

$\dfrac{F_1}{\sin \theta_{23} }= \dfrac{F_2}{\sin \theta_{31} } = \dfrac{F_2}{\sin \theta_{12} }$

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Gabarito

Letra a)

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Problema 09 *

(OBF - Adaptada) Durante as aulas sobre vetores, Gabriel Hemétrio desenhou no quadro a figura exposta abaixo, onde os segmentos de retas $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ , $AC$ e $BD$ , representam vetores, de tal forma que prevalece o sentido, ou seja, $AB \not= BA$ . Assim, podemos representar o desenho abaixo , pela soma dos vetores, EXCETO em:

a) $AB+BC+CA=0$

b) $BD= AB+AD$

c) $AC+CD=AD$

d) $AB+BD+DC=AC$

e) $BA+BC=BD$

Solução

Após verificar cada uma das opções, percebemos que apenas o item b) está errado. A figura abaixo ilustra o diagrama de vetores proposto:

Note como $AB+AD=AC$ e não $BD$ . Portanto o item errado é a Letra b).

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Gabarito

Letra b)

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Problema 10 *

No plano cartesiano abaixo, temos três vetores $u$ , $v$ e $w$ representados por setas vermelhas. Faça o que for pedido:

a) Represente cada um deles na forma de versor, ou seja, separando as componentes $\hat{x}$ e $\hat{y}$ .

b) Calcule a soma dos três vetores. Caso esteja com dificuldades nesse assunto, o NOIC de Física recomenda utilizar o Simulador de Vetores do PhET para ajudar na visualização dos processos.

Solução

Usando as componentes, temos para cada um dos vetores (enumerando de cima para baixo):

$\vec{v}_1= (-8)\hat{x}+(-4)\hat{y}$

$\vec{v}_2= (4)\hat{x}+(-4)\hat{y}$

$\vec{v}_3= (8)\hat{x}+(0)\hat{y}$

A soma dos vetores é a soma das componentes de cada eixo:

$\vec{v}_1+\vec{v}_2 + \vec{v}_3=(-8+4+8)\hat{x}+ (-4-4+0)\hat{y}$

$\vec{v}_1+\vec{v}_2 + \vec{v}_3=(+4)\hat{x}+ (-8)\hat{y}$

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Gabarito

$\vec{v}_1+\vec{v}_2 + \vec{v}_3=(+4)\hat{x}+ (-8)\hat{y}$

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Problema 11 *

Lucas Tavares deixou sua borracha cair em uma rampa de inclinação $\theta=30^\circ$ , confome ilustra a figura abaixo. Podemos representar o peso da borracha na forma vetorial usando diferentes eixos de coordenadas. Dependendo do problema, o uso de alguns eixos facilita a solução.

Nesse caso, podemos decompor o peso nos eixos $(x, y)$ na forma $(-P, 0)$ , ou seja $\vec{P}=0\hat{x}-P\hat{y}$ . Usando seus conhecimentos de vetores e geometria plana, decomponha o vetor $\vec{P}$ nos eixos $(x', y')$ .

Solução

Usando os conhecimentos de geometria plana, podemos encontrar o ângulo que o vetor peso faz com a direção $y'$ :

Usando os conhecimentos de trigonometria, percebemos que:

$\vec{P}=(-P\sin{\theta})\hat{x}+(-P\cos{\theta})\hat{y}$

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Gabarito

$\vec{P}=(-P\sin{\theta})\hat{x}+(-P\cos{\theta})\hat{y}$

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Problema 12 **

Em um octógono regular sete vetores de mesmo módulo $10\,\textbf{m}$ estão organizados conforme a imagem abaixo ilustra. Calcule a soma dos vetores.

Solução

Podemos usar uma ideia parecida que foi utilizada anteriormente. Vamos somar e subtrair os vetores azuis na imagem abaixo, de forma que a resposta final não é alterada, mas a visualização da resposta se torma mais fácil.

Note que os vetores que começam no centro do octógono e apontam radialmente para fora se cancelam por conta da simetria do problema, de forma que apenas o vetor azul que aponta para o centro sobra no fim da soma. Portanto, podemos afirmar que:

$\vert \vec{V}\vert=10\,\textrm{m}$

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Gabarito

$\vert \vec{V}\vert=10\,\textrm{m}$

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Problema 13 *

Calcule o módulo da soma dos vetores $\vert\vec{a}\vert=10$ e $\vert\vec{b}\vert=5$ .

Solução

Para resolver esse problema, basta utilizar a lei dos cossenos:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$

Sabendo que $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$ , temos:

$c=\sqrt{175}$

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Gabarito

$c=\sqrt{175}$

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Problema 14 **

O vetor $\vec{a}$ possui módulo fixo de $10$ N. O ângulo entre o vetor $\vec{a}$ e $\vec{b}$ vale $\theta=30^\circ$ . O vetor $\vec{b}$ possui módulo variável, mas direção fixa. Calcule o menor valor da diferença $\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}$ .

Solução

A menor diferença correposde ao menor valor possível para o vetor $\vec{c}$ . Podemos afirmar que o menor valor do vetor $\vec{c}$ acontece quando a direção desse vetor for penpendicular à direção do vetor $\vec{b}$ . Isso acontece pois a menor distância entre um ponto e uma reta é o segmento perpendicular à reta que passa por esse ponto.

Logo, o menor valor da diferença vale:

$\vert \vec{c}\vert=a\sin\theta$

$\vert\vec{c}\vert=5$

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Gabarito

$\vert \vec{c}\vert=5$

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Problema 15 *

O vetor $\vec{v}$ está girando ao redor da origem com velocidade angular $\omega$ . Escreva as componentes do vetor $\vec{v}$ nos eixos $x$ e $y$ em função do tempo sabendo que inicialmente o vetor $\vec{v}$ se encontrava alinhado com o eixo $y$ .