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Cada problema vale 7 pontos
Problema 1. A sequência 121, 1221, 12221, ... contém todos os números da forma 122...21 com n dígitos 2. A quantidade de dígitos 2 indica a posição do número na sequência. Por exemplo, o número 122222221 é o sétimo termo da sequência.
a) Dentre os 2009 primeiros termos da sequência, quantos são divisíveis por 3?
b) Qual é o menor número múltiplo de 1001 da sequência?
Problema 2.
(a) De um quadrado de papel de lado 10 recortam-se retângulos de 1 x 8, com cortes paralelos aos lados do quadrado. Determine qual é a maior quantidade de retângulos deste tipo que se pode obter.
(b) De um quadrado de papel de lado 80 recortam-se retângulos de 1 x 43, com cortes paralelos aos lados do quadrado. Determine qual é a maior quantidade de retângulos deste tipo que se pode obter.
Em ambos os casos, indique como se pode realizar os cortes cortes e explique porquê não é possível recortar uma quantidade maior de retângulos .
Problema 3. Desenha-se uma semicircunferência Γ cujo diâmetro pertence à reta r. C e D são pontos em Γ que não pertencem à r. As tangentes a Γ por C e D cortam r em B e A, respectivamente. Seja E é o ponto de intersecção de AC com BD, e F é o ponto em r tal que EF é perpendicular à r. Se temos que o centro de Γ pertence ao segmento AB, mostre que EF bissecta ∠CFD.