Simulado B1

Tempo: 4:30

Cada problema vale 7 pontos

Problema 1. Prove que se $a,b,c,d$ são reais positivos, então

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a} <3$

Problema 2. Ache todos os pares de inteiros positivos $(a,n)$ maiores que $1$ tais que todo fator primo de $a^n+1$ também é fator primo de $a+1$.

Problema 3. Seja $ABC$ um triângulo e $P$ um ponto em seu interior. As retas $AP,BP,CP$ cortam $BC,CA,AB$ em $D,E,F$ respectivamente. Definimos $A',A''$ como os encontros do círculo de diâmetro $AD$ com o círculo de diâmetro $BC$. Definimos também $B',B'',C',C''$ analogamente. Prove que $A',A'',B',B'',C',C''$ são concíclicos.