Simulado C2

Tempo: 4:30

Cada problema vale 7 pontos

Problema 1. Ache todos os inteiros positivos $n$ tais que a desigualdade

$3x^n +n(2+x) -3 \ge n x^2$

vale para todo número real $x$.

Problema 2. Seja $n$ um inteiro ímpar maior que $1$. Prove que não existem infinitos pares de inteiros positivos  $r,s$  tais que o número $\binom{r}{n} + \binom{s}{n}$ é primo.

Problema 3. No quadrilátero cíclico $ABCD$, diagonais $AC$ e $BD$ se encontram em $P$. Sejam $E,F$ os respectivos pés de $P$ em $AB,CD$. As retas $BF$ e $CE$ se encontram em $Q$. Prove que $PQ$ e $EF$ são perpendiculares.