OBMEP NÍVEL 3 - SIMULADO 01

OBMEP Nível 3 Simulado

Problema 1

Juju tem um fascínio grande por números. Certo dia, Juju resolveu analisar o comportamento do que ele começou a chamar de números “daora”. Para ser “daora” um número precisa ter quatro algarismos de tal forma que os dois últimos são iguais, assim como os dois primeiros. Por exemplo, $4433$ e $6699$ são “daora”.

a) Após algumas análises, Juju viu que nenhum número “daora” que possuía os quatro algarismos iguais podia ser quadrado perfeito. Prove tal fato.

b) Apesar disso, Juju viu que certas propriedades todos números “daora” possuíam, por exemplo, qualquer número “daora” é divisível por $11$ . Prove este fato.

c) Em meio a tantas perguntas, Juju não sabe se é possível um número “daora” ser quadrado perfeito. Encontre todos números “daora” que são quadrados perfeitos.

Problema 2

Mumu adora tabuleiros e jogos, por isso tem várias peças formadas por quatro quadradinhos de lado unitário, na forma de $L$ :

Em seu tempo livre, Mumu forma figuras maiores com essas peças, unindo um ou mais lados dos quadradinhos, porém sem formar buracos na figura. Olhe os exemplos abaixo para entender as figuras de Mumu:

a) Desenhe uma figura cujo perímetro é $14$ .

b) Descreva como formar uma figura de perímetro $2016$ .

c) É possível formar uma figura de perímetro ímpar? Justifique.

Problema 3

Samuel, aluno dedicado que estuda pouco mais que $19$ horas por dia, ama problemas de álgebra e certo dia deparou-se com a seguinte figura, onde $MD=5$ , $BE=7$ e o ponto $M$ é o vértice da parábola:

Depois de muito observar, Samuel perguntou - se sobre a possibilidade de calcular a linha vermelha, paralela à altura do quadrado, da figura abaixo sabendo que sua posição varia na largura do mesmo quadrado de lado $10$ . Note que a linha é basicamente a diferença entre os pontos que a paralela corta a parábola e a reta inseridos no quadrado. Para não se atrapalhar em suas contas, Samuel definiu que a função $f (x)$ vai representar o tamanho da linha vermelha quando ela está a uma distância $x$ do lado esquerdo do quadrado. Sabendo disso, ajude Samuel a responder as seguintes perguntas:

a) Quais os valores de $f (0), f (5)$ e $f (10)$ ?

b) Quais são os valores de $x$ para os quais $f (x)=0$ ?

c) Escreva as expressões para $f (x)$ quando $0 \le x \le 10$ .

d) Faça o gráfico de $f (x)$ em função de $x$ .

Problema 4

Designado como um dos resultados clássicos da geometria euclidiana, o Teorema da Borboleta apresenta diversas provas e serve como boa ferramenta para resolver problemas. Dentre as soluções elementares temos a apresentada abaixo, onde traçamos quatro perpendiculares: de $X$ em relação à $AB$ , de $X$ em relação à $CD$ , de $Y$ em relação à $AB$ e de $Y$ em relação à $CD$ . A partir disso, nomeamos os pontos de $X_1, X_2, Y_2, Y_1$ , respectivamente. Observando os diferentes triângulos semelhantes criados na figura, responda:

a) Prove que $\dfrac{MX}{MY} = \dfrac{XX_1}{YY_2} = \dfrac{XX_2}{YY_1}$ .

b) Prove que $\dfrac{MX^2}{MY^2} = \dfrac{AX\cdot DX}{BY \cdot CY}$ .

c) Prove o que chamamos de “potência de ponto”, ou seja, se $P$ pertence às cordas $AB$ e $CD$ de uma circunferência, então: $AP \cdot PB = CP \cdot DP$ . Utilize a figura auxiliar se necessário.

d) Termine a prova do Teorema da Borboleta, ou seja, a partir da identidade do item $(b)$ chegue à conclusão de que $M$ é o ponto médio de $XY$ , ou seja, $MX=MY$ .

Problema 5

Bryan adora artifícios de geometria analítica. Para testar seus conhecimentos resolveu desenhar no plano cartesiano uma circunferência $\Gamma$ de equação $x^2 + y^2 = 16$ . Não satisfeito, desenhou outra circunferência $\gamma$ , mas de raio $1$ e centro $O'$ , que se desloca tangenciando internamente $\Gamma$ , sem escorregamento entre os pontos de contato, ou seja, $\gamma$ rola internamente sobre $\Gamma$ . Considere o ponto $P$ sobre $\gamma$ de forma que no início do movimento de $\gamma$ o ponto $P$ coincide com o ponto de tangência $(4,0)$ , conforme a figura. Intrigado, Bryan observou seu deslocamento e notou que se marcasse o ângulo entre o eixo x e a reta que une o centro das circunferências, o que denominou de $\theta$ , poderia encontrar o lugar geométrico do ponto $P$ . Mostre como ele chegou nessa conclusão:

Dados:

$\sin (\alpha + \beta) = \sin {\alpha} \cos {\beta} + \sin {\beta} \cos {\alpha}$

$\cos (\alpha + \beta) = \cos {\alpha} \cos {\beta} - \sin {\beta} \sin {\alpha}$

$\sin (2 \alpha) = 2 \sin {\alpha} \cos {\alpha}$

$\cos (2 \alpha) = \cos^2 {\alpha} - \sin^2 {\alpha} = 1 - 2 \sin^2 {\alpha} = 2 \cos^2 {\alpha} - 1$

a) Determine as coordenadas do ponto $O'$ , centro de $\gamma$ , em função do ângulo $\theta$ .

b) Determine as coordenadas do ponto $P$ marcado sobre $\gamma$ em função do ângulo $\theta$ .

c) Utilizando os dados do enunciado, mostre que podemos escrever as coordenadas do ponto $P$ como $(4 \cos^3 \theta, 4 \sin^3 \theta)$ .

d) Determine a equação em coordenadas cartesianas do lugar geométrico do ponto $P$ quando $\theta$ varia no intervalo $[0, 2\pi).$

Problema 6

Duim adora matemática e acima de tudo combinatória. Para testar seus conhecimentos sobre sua matéria preferida resolveu fazer uma nova brincadeira: pegou uma caixa de sapato velha e quatro bolinhas coloridas, onde escreveu $N, S, O$ e $E$ em cada uma delas (uma letra por bolinha), representando os quatro pontos cardeais. Depois de misturar todas bolinhas na caixa, Duim foi para seu quintal e marcou um $X$ no chão para marcar sua posição inicial. A partir disso, a brincadeira iria funcionar da seguinte maneira: Duim iria retirar uma bolinha da caixa (todas com igual probabilidade de ser retirada) e caminhar um passo na direção que a bola indicar. Por exemplo, se ele retirasse a bolinha com a letra $N$ dava um passo para o norte. Após dar o passo, Duim repetia o procedimento.

a) Duim pode voltar ao marco inicial após uma quantidade ímpar de passos? Justifique.

b) Em quantos caminhos diferentes Duim volta ao marco inicial após exatamente $4$ passos?

c) Qual a probabilidade de Duim voltar ao marco inicial após exatamente $n$ passos? Considere $n$ um inteiro par e se necessário, utilize a identidade de Vandermonde: ${n+m \choose r} = \sum_{k=0}^{r} {m \choose k}{n \choose r-k}$ para $n, m, r \in \mathbb{N}$