OBMEP Nível 3 - Simulado 02

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OBMEP Nível 3 Simulado


Problema 1

João adora se divertir com suas peças de madeira, ele possui duas peças: um retângulo de 1 cm x 1 cm x 2 cm e um cubinho de lado 1 cm. João montou uma espécie de objeto, apresentado abaixo, com suas peças de madeira. Ajude-o a explorar este objeto!

Figura Bryan 1.1 Figura Bryan 1.2 Figura Bryan 1.3

a) Calcule o volume do objeto de João.

b) Calcule o número de faces do objeto de João.

c) Calcule o número de arestas do objeto de João.

d) Calcule a área superficial do objeto de João.


Problema 2

Victor ama usar sua calculadora. Ele possui uma calculadora especial com dois botões que não existem em outras calculadoras, o botão ♦ e o botão ♠.

Se na tela da calculadora está um número x, então sabemos que após apertar ♦, teremos no visor da calculadora o número \dfrac{x}{x-1}.

E se na tela da calculadora está um número x, então sabemos que após apertar ♠, teremos no visor da calculadora o número \dfrac{1}{1-x}.

a) Ajude Victor e diga o que aparecerá no visor se este estiver inicialmente com o número 7 e ele apertar o botão ♦.

b) Victor deseja fazer operações mais complicadas e precisa saber qual número aparecerá no visor se este inicialmente estiver com o número 3 e ele apertar os botões ♠ ♠ ♦ ♦ ♠ nesta ordem. Diga a Victor o que aparecerá no visor!

c) Prove que o número do visor permanece igual ao inicial se apertarmos duas vezes ♦.

d) Prove que o número do visor permanece igual ao inicial se apertarmos três vezes ♠.


Problema 3

Mustache está perdido numa ilha, porém sabe que muitos aviões passam por lá e ele possui 4 latas de tinta. Mustache planeja escrever na areia da ilha a palavra HELP, que significa ajuda em inglês, já que Mustache teria mais chance de se salvar. Porém em meio disso tudo, Mustache se encontra confuso em qual tinta usar para pintar seu pedido de socorro, mas tem certeza de que precisa usar cores distintas para as regiões vizinhas dentro das letras, usando a figura abaixo. Ajude-o a calcular o número possível de maneiras de pintar a praia.

Figura Bryan 3.1Figura Bryan 3.2

a) Sabemos que Mustache pode pintar a letra H de 4 \times 3 \times 3. De quantas maneiras Mustache pode pintar a letra L?

b) De quantas maneiras Mustache pode pintar a letra E?

c) De quantas maneiras Mustache pode pintar a letra P?

d) De quantas maneiras Mustache pode pintar toda sua palavra HELP?


Problema 4

Juliano gosta muito de matemática e adora a sequência de Fibonacci, porém quis criar sua própria sequência, a sequência Juliano. Na sequência Juliano os termos obedecem a mesma ordem da de Fibonacci, ou seja:

J_{n+2}=J_{n+1}+J_{n}

Onde J_i é o i-ésimo termo da sequência Juliano. Sabemos que J_1=4 e que J_2=5 e apartir disso podemos montar o restante da sequência:

4, 5, 9, 14, 23, ...

Porém Juliano queria descobrir mais sobre sua sequência, ajude-o a explorar seus conhecimentos!

a) Ache o oitavo termo da sequência Juliano, ou seja, encontre o valor de J_8.

b) Prove que o J_{11} é múltiplo de 3.

c) Prove que para todo k, temos que J_{8k+3} é múltiplo de 3.

d) Prove que 19 divide algum termo da sequência Juliano.


Problema 5

Bia gosta de brincar com figuras geométricas e adora teoremas matmeáticos da Geometria. Bia adora dois pontos em especial em um triângulo:

O incentro, que é o encontro das bissetrizes internas de um triângulo, como mostra a figura abaixo.

E o ex-incentro, que é o encontro de duas bissetrizes externas e uma bissetriz interna de um triângulo, como mostra a figura abaixo.

Bia também está muito intrigada com uma questão que não consegue resolver. Ela possui um quadrilátero ABCD, onde \angle{DAB}=\angle{ABC}=110, \angle{BCD}=35, \angle{CDA}=105, e AC bissecta o ângulo \angle{DAB}. Apesar de todas essas informações, Bia não consegue achar alguns ângulos da figura. Vamos ajudar Bia!

Figura 5.1Figura 5.2

figura 5.3

a) Prove que o ângulo entre a bissetriz interna e externa de um mesmo vértice são sempre perpendiculares.

b) Ache o ângulo \angle{BCI_a} e \angle{CBI_a} da segunda figura em função de \angle{B} e \angle{C}.

c) Ache o ângulo \angle{BI_aC} da segunda figura em função de \angle{A}.

d) Ache o ângulo \angle{ABD} do problema de Bia. Justifique sua resposta.


Problema 6

Samuel e Brendon gostam de jogos. Eles então resolveram jogar poker, um jogo de cartas com um baralho de 52 cartas, 13 de cada naipe, com os números de 2 a 10 e as letras K, Q, J, A. No jogo de poker, cada jogador recebe duas cartas e são abertas 5 cartas na mesa, ganha aquele que possuir o conjunto de 5 cartas dentre as 7 de maior valor. Segue uma tabela que especifica quais são as cartas necessárias para cada conjunto especial e o seu valor. Basicamente ganha aquele que possuir o conjunto de valor mais alto, por exemplo, Flush ganha de Sequência. Samuel e Brendon gostariam de treinar suas habilidades de probabilidade, então após receberem suas cartas, eles as deixam abertas à mostra na mesa.

jogadas_de_poker

a) Calcule a probabilidade de Samuel obter uma Sequência, sabendo que sua mão compõe as cartas ilustradas abaixo e na mesa só possuímos 4 cartas abertas, mostradas abaixo. (Basicamente calcule a probabilidade da quinta carta não mostrada fazer com que Samuel possua uma Sequência)

Figura Bryan 6.1Figura Bryan 6.2

b) Calcule a probabilidade de Brendon obter uma Flush, sabendo que sua mão compõe as cartas ilustradas abaixo e na mesa só possuímos 4 cartas abertas, mostradas abaixo. (Basicamente calcule a probabilidade da quinta carta não mostrada fazer com que Brendon possua uma Flush)

Figura Bryan 6.1Figura Bryan 6.3

c) Sabendo que agora cada um deles possui sua mão de 2 cartas mostrada na mesa, calcule a probabilidade de Samuel ou Brendon ganhar o jogo na última carta, já que as outras 4 cartas já estão abertas, como mostra a figura abaixo. Quem possui mais probabilidade de ganhar? (lembramos que existem outros conjuntos de cartas além de Flush e Sequência, como um Par ou uma Trinca)

Figura Bryan 6.1Figura Bryan 6.2Figura Bryan 6.3

d) Sabendo que agora cada um deles possui sua mão de 2 cartas mostrada na mesa, calcule a probabilidade de Samuel ou Brendon ganhar o jogo nas últimas duas cartas, já que as outras 3 cartas já estão abertas, como mostra a figura abaixo. Quem possui mais probabilidade de ganhar?

Figura Bryan 6.4Figura Bryan 6.2Figura Bryan 6.3

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