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SOLUÇÕES ASTRONOMIA - SEMANA 30

INICIANTE

(a) Pela geometria da elipse, o semieixo maior da órbita é calculado por:

a=a0+aL2

Onde

aL384 mil km

a0RT=6370km

Nessa última fórmula, consideramos uma órbita inicial com altitude baixa

a=195 mil km

(b) Pode-se chegar na fórmula da excentricidade a partir de:

rpericentro=a(1e)

rapocentro=a(1+e)

Subtraindo uma da outra

raprpe=a(1+e1+e)

raprpe=rap+rpe22e

e=raprperap+rpe

Substituindo os valores

rap=aL

rpe=a0

e=0,97

(c) O tempo de viagem pode ser calculado com a 3ª lei de Kepler

a3τ2=GMT4π2

τ=2πa3GMT

Como a viagem é só do perigeu ao apogeu, sem retornar, temos

Δt=τ2

Δt=427625s

Δt=4,9dias

(d) Para que a missão seja bem sucedida, o foguete deve se encontrar com a Lua no apogeu - 180º do ponto de partida, perigeu, tendo como referencial o centro da Terra. Então:

ωLΔt+θL=π

ωL=2/piaLτL=GMTa3L

θL=2rad

θL=114,9º

INTERMEDIÁRIO

(a) Similar ao exercício anterior

a=aT+aS2

a=1UA+9,58UA2

a=5,29UA

(b)

e=raprperap+rpe

e=9,58UA1UA9,58UA+1UA

e=0,81

(c)

Δt=πa3GMsol

Δt=6anos

(d) 

Definimos:

  • vT - velocidade orbital da Terra;
  • vT1 - velocidade relativa à Terra após aplicado o impulso;
  • vTH0 - velocidade no periélio da órbita de transferência relativa à Terra;
  • vH0 - velocidade no periélio da órbita de transferência;
  • rT - raio da órbita geoestacionária;
  • rTH0 - distância à Terra no início da transferência efetiva

Para encontrarmos o excesso de velocidade (velocidade restante após o corpo escapar de um campo gravitacional), conservamos energia

mv2T12GMTrT=mv2TH02GMTrTH0

rTH0rT

v2T12GMTrT=v2TH0

Agora encontramos as velocidades e calculamos a velocidade perdida

vH0=GMsol(2aT1a)

vH0=vTH0+vT

vTH0=10,13km/s

vT1=11,03km/s

vperdida=|vTH0vT1|

vperdida=0,9km/s

(e)

Definimos:

  • vS - velocidade orbital de Saturno;
  • vT0 - velocidade relativa à Terra antes de aplicado o impulso;
  • vS0 - velocidade relativa a Saturno antes de aplicado o impulso;
  • vS1 - velocidade relativa a Saturno após aplicado o impulso;
  • vH1 - velocidade no afélio da órbita de transferência;
  • rS - raio da órbita de Titã

Primeiro encontraremos o Delta V do impulso feito na Terra

ΔvT=|vT1vT0|

vT0=GMTrT

vT0=3,08km/s

ΔvT=7,95km/s

Agora do impulso feito em Saturno

ΔvT=|vS1vS0|

vS0vSH1

vH1=GMsol(2aS1a)

vH1=vS+vSH1=4,19km/s

vS0=5,41km/s

vS1=GMSrS

vS1=5,77km/s

ΔvS=0,36km/s

Para achar o Delta V total

Δv=ΔvT+ΔvS

Δv=8,31km/s

(f) O impulso específico se relaciona com a velocidade de exaustão do foguete por:

u=Ispg0

sendo g0 a gravidade a nível do mar

Pela equação de Tsiolkovsky (equação do foguete):

Δv=uln(M0M1)

M0=M1eΔvIspg0

M0=8,3M1

AVANÇADO

(a) No referencial da Terra:

ΔtT=Dv

ΔtT=4,24al0,6al/ano

ΔtT=7,07anos

No referencial das sondas

γΔtS=ΔtT

γ=(1(vc)2)12

γ=54

ΔtS=5,66anos

(b) 

z=Δλλ=1+vc1vc1

λobs=λemit1+vc1vc

λobs=60cm

(c) O intervalo de tempo entre as mensagens é dado pelo tempo entre as emissões e o tempo que a luz leva para percorrer a distância percorrida

τT=T+Δxc

Δx=vT

T=γτS

τT=γτS(1+vc)

τT=2semanas

(d) Esse é o tempo que as sondas levam para chegar até Proxima Centauri mais o tempo que a mensagem leva para chegar até nós

Tc=ΔtT+Dc

Tc=11,31anos

(e) No referencial da Terra, a intervalo de tempo entre a chegada das mensagens na ida e na volta são, respectivamente:

τi=γτS(1+vc)

τi=2semanas

τv=γτS(1vc)

τv=0,5semana

A viagem leva no total 2ΔtT e o número total de mensagens pode ser calculado por:

N=Tcτi+2ΔtTTcτv

N=588

Esse valor também pode ser calculado no referencial da sonda

N=2ΔtSτS

N=588