INICIANTE
(a) Pela geometria da elipse, o semieixo maior da órbita é calculado por:
a=a0+aL2
Onde
aL≈384 mil km
a0≈RT=6370km
Nessa última fórmula, consideramos uma órbita inicial com altitude baixa
a=195 mil km
(b) Pode-se chegar na fórmula da excentricidade a partir de:
rpericentro=a(1−e)
rapocentro=a(1+e)
Subtraindo uma da outra
rap−rpe=a(1+e−1+e)
rap−rpe=rap+rpe22e
e=rap−rperap+rpe
Substituindo os valores
rap=aL
rpe=a0
e=0,97
(c) O tempo de viagem pode ser calculado com a 3ª lei de Kepler
a3τ2=GMT4π2
τ=2π√a3GMT
Como a viagem é só do perigeu ao apogeu, sem retornar, temos
Δt=τ2
Δt=427625s
Δt=4,9dias
(d) Para que a missão seja bem sucedida, o foguete deve se encontrar com a Lua no apogeu - 180º do ponto de partida, perigeu, tendo como referencial o centro da Terra. Então:
ωLΔt+θL=π
ωL=2/piaLτL=√GMTa3L
θL=2rad
θL=114,9º
INTERMEDIÁRIO
(a) Similar ao exercício anterior
a=aT+aS2
a=1UA+9,58UA2
a=5,29UA
(b)
e=rap−rperap+rpe
e=9,58UA−1UA9,58UA+1UA
e=0,81
(c)
Δt=π√a3GMsol
Δt=6anos
(d)
Definimos:
- vT - velocidade orbital da Terra;
- vT1 - velocidade relativa à Terra após aplicado o impulso;
- vTH0 - velocidade no periélio da órbita de transferência relativa à Terra;
- vH0 - velocidade no periélio da órbita de transferência;
- rT - raio da órbita geoestacionária;
- rTH0 - distância à Terra no início da transferência efetiva
Para encontrarmos o excesso de velocidade (velocidade restante após o corpo escapar de um campo gravitacional), conservamos energia
mv2T12−GMTrT=mv2TH02−GMTrTH0
rTH0≫rT
v2T1−2GMTrT=v2TH0
Agora encontramos as velocidades e calculamos a velocidade perdida
vH0=√GMsol(2aT−1a)
vH0=vTH0+vT
vTH0=10,13km/s
vT1=11,03km/s
vperdida=|vTH0−vT1|
vperdida=0,9km/s
(e)
Definimos:
- vS - velocidade orbital de Saturno;
- vT0 - velocidade relativa à Terra antes de aplicado o impulso;
- vS0 - velocidade relativa a Saturno antes de aplicado o impulso;
- vS1 - velocidade relativa a Saturno após aplicado o impulso;
- vH1 - velocidade no afélio da órbita de transferência;
- rS - raio da órbita de Titã
Primeiro encontraremos o Delta V do impulso feito na Terra
ΔvT=|vT1−vT0|
vT0=√GMTrT
vT0=3,08km/s
ΔvT=7,95km/s
Agora do impulso feito em Saturno
ΔvT=|vS1−vS0|
vS0≈vSH1
vH1=√GMsol(2aS−1a)
vH1=vS+vSH1=4,19km/s
vS0=5,41km/s
vS1=√GMSrS
vS1=5,77km/s
ΔvS=0,36km/s
Para achar o Delta V total
Δv=ΔvT+ΔvS
Δv=8,31km/s
(f) O impulso específico se relaciona com a velocidade de exaustão do foguete por:
u=Ispg0
sendo g0 a gravidade a nível do mar
Pela equação de Tsiolkovsky (equação do foguete):
Δv=uln(M0M1)
M0=M1eΔvIspg0
M0=8,3M1
AVANÇADO
(a) No referencial da Terra:
ΔtT=Dv
ΔtT=4,24al0,6al/ano
ΔtT=7,07anos
No referencial das sondas
γΔtS=ΔtT
γ=(1−(vc)2)−12
γ=54
ΔtS=5,66anos
(b)
z=Δλλ=√1+vc1−vc−1
λobs=λemit√1+vc1−vc
λobs=60cm
(c) O intervalo de tempo entre as mensagens é dado pelo tempo entre as emissões e o tempo que a luz leva para percorrer a distância percorrida
τT=T+Δxc
Δx=vT
T=γτS
τT=γτS(1+vc)
τT=2semanas
(d) Esse é o tempo que as sondas levam para chegar até Proxima Centauri mais o tempo que a mensagem leva para chegar até nós
Tc=ΔtT+Dc
Tc=11,31anos
(e) No referencial da Terra, a intervalo de tempo entre a chegada das mensagens na ida e na volta são, respectivamente:
τi=γτS(1+vc)
τi=2semanas
τv=γτS(1−vc)
τv=0,5semana
A viagem leva no total 2ΔtT e o número total de mensagens pode ser calculado por:
N=Tcτi+2ΔtT−Tcτv
N=588
Esse valor também pode ser calculado no referencial da sonda
N=2ΔtSτS
N=588