SOLUÇÕES ASTRONOMIA - SEMANA 34

INICIANTE

A altura do polo elevado é igual à latitude do local. Como Raul observou Polaris:

$\phi = 7,5^{\circ}N$

Antes de estimarmos a longitude do local, temos que estimar a ascensão reta do sol para calcularmos o tempo sideral local de Brasília

$\alpha _S=2\frac{h}{mes}("20/05" - "23/03")$

$\alpha _S \approx 4h$

Com isso, podemos calcular o tempo sideral no fuso de Brasília.

$TSL_{GMT-3:00}=H_S + \alpha _S$

Sabendo que o ângulo horário do sol no fuso é

$H_S=12h + H_{GMT-3:00}$

$TSL_{GMT-3:00}=23h45m$

Agora calculando o tempo sideral no local onde Raul se encontra:

$TSL=H_m+\alpha _m$

$H_m=6h$ (estrela no equador se pondo)

$TSL=11h30m$

Por geometria, temos:

$\Delta TSL= \Delta H=\Delta \lambda$

$\lambda - \lambda _{45^{\circ}W}=TSL - TSL_{GMT-3:00}$

$\lambda=131^{\circ}15'E$

INTERMEDIÁRIO

Para achar a distância até a torre, consideramos apenas o plano do chão e as coordenadas de azimute. Reescrevendo em função do azimute do telescópio 1:

$A'_1=0^{\circ}$

$A'_1=2^{\circ}$

$\alpha '=210^{\circ}$

Representando as distâncias como vetores ($\vec{r_1}$, $\vec{r_2}$, $\vec{D}$), temos a relação, considerando o telescópio 1 na origem:

$\vec{r_1}=\vec{r_2}+\vec{D}$

 

$\vec{r_1}=r_1\hat{x}$

$\vec{r_2}=r_2\cos (A'_2)\hat{x} - r_2\sin (A'_2)\hat{y}$

$\vec{D}=D\cos (\alpha ')\hat{x}-D\sin (\alpha ')\hat{y}$

 

$\hat{x}$:   $r_1=r_2\cos (A'_2)+D\cos (\alpha ')$

$\hat{y}$:   $0=- r_2\sin (A'_2)-D\sin (\alpha ')$

 

$r_2=-D \frac{\sin (\alpha ')}{\sin (A'_2)}$

$r_1=D(\cos (\alpha ')-\frac{\sin (\alpha ')}{\tan (A'_2)})$

$r_1=134,5m$

 

Agora para achar a altura, basta calcular:

$\tan (h_1)=\frac{H}{r_1}$

$H=192m$

AVANÇADO

Considere uma massa acretada de uma grande distância até a órbita interna do disco de acreção. Sua energia energia pode ser descrita por:

$\frac{mv_0^2}{2}-\frac{GMm}{r_\infty}=\frac{mv_{f}^2}{2}-\frac{GMm}{r}$

$\frac{v_{f}^2}{2}-\frac{GM}{r} \approx 0$

$\frac{v_{f}^2}{2}=\frac{GM}{r}$

Conforme a massa é acretada, ela dissipa sua energia em forma de calor até a órbita mais interna. Dada uma taxa de acreção constante, num intervalo de tempo:

$\Delta E=L \Delta t=\Delta m \frac{v_f^2}{2}$

$L=\frac{GM}{r}\frac{\Delta m}{\Delta t}$

A taxa de acreção também pode ser escrita como:

$L=\eta \frac{\Delta m}{\Delta t} c^2$

Onde $\eta$ é a eficiência da conversão de matéria em energia térmica e $c$ é a velocidade da luz. Concluímos que:

$\eta c^2=\frac{GM}{r}$

$\eta = \frac{2GM}{c^2} \frac{1}{2r}$ ($R_s$ raio de Scharchild)

$\eta = \frac{R_s}{2r}$

Substituindo para $r=3R_s$

$\eta = \frac{1}{6} \approx 17$%