Física - Ideia 09

Escrita por Paulo Kitayama:

Podemos analisar a formação de imagens em dioptros e lentes utilizando a notação padrão abordada em livros comuns, que utiliza p e p' como distância do objeto e da imagem ao vértice do instrumento, respectivamente. Porém, também é possível estudar esses fenômenos a partir de uma notação desenvolvida para simplificar alguns casos.

Nessa notação, utiliza-se como x a distância do objeto ao foco f, e como x' a distância da imagem ao foco f '. Utilizando semelhança de triangulos gerados pelo eixo óptico do dioptro e raios principais, passando pelos focos, obtem-se as relações:

$\frac{y}{f'}=\frac{y'}{x'}$
$\frac{y}{x}=\frac{y'}{f}$

Concluindo:

$xx'=ff'$

Para uma lente, a mesma relação pode ser obtida utilizando a equação dos fabricantes de lentes em função do único foco da lente:

$\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=\frac{1}{f}$
$\frac{1}{x+f}+\frac{1}{x'+f}=\frac{1}{f}$
$(x'+x+2f)f=xx'+fx+fx'+f^2$
$2f^2=xx'+f^2$
$xx'=f^2$

Exemplos:

1 - Transversal e Longitudinal

Qual a relação entre o aumento longitudinal, que pode ser definido como $\frac{dx'}{dx}$ e o aumento transversal de uma lente?

Solução:

$xx'=f^2 \rightarrow x'=\frac{f^2}{x}$
$\frac{dx'}{dx}=- \frac{f^2}{x^2}$
$m_L=-\frac{f^2}{x^2}$

Mas, sabe-se que o aumento transversal pode ser obtido como y'/y, logo, utilizando as semelhanças de triangulos:

$m_T=\frac{f}{x}$

Portanto,

$m_L=-{m_T}^2$

2 - Aumento

Para quais distâncias um objeto pode ter sua imagem gerada por uma lente de foco f, com aumento A? Quais serão as distâncias das imagens geradas ao foco da lente?

Solução:

$A=\frac{y'}{y}$

Mas, como observado na prova da relação, essa relação pode ser escrita como:

$\frac{y'}{y}=\frac{f}{x}=\frac{x'}{f}$

$A=\frac{f}{x} \rightarrow x=\frac{f}{A}$

Porém, o aumento pode ser tanto positivo quanto negativo (Para imagens direita e invertida respectivamente). Logo, as duas distâncias possíveis são:

$f-x=f \bigg ( 1-\frac{1}{A} \bigg )$ e $f+x=f \bigg ( 1+\frac{1}{A} \bigg )$

As distâncias das imagens são, utilizando a fórmula de Newton:

$x'=A f$ ou $x'=-A f$

Problemas:

P1 - (ITA - 2018) Dois espelhos

Dois espelhos esféricos interdistantes de 50cm, um côncavo, E1, e outro convexo, E2, são dispostos coaxialmente tendo a mesma distância focal de 16cm. Uma vela é colocada diante dos espelhos perpendicularmente ao eixo principal, de modo que suas primeiras imagens conjugadas por E1 e E2 tenham o mesmo tamanho.

P2 - Dioptro

Deduza a forma Newtoniana da equação que relaciona a posição do objeto e a da imagem de uma lente delgada biconvexa a partir de dois dioptros esféricos de mesmo raio de curvatura.

P3 - Distância Máxima

Qual a distância máxima entre um objeto e sua imagem real formada por uma lente convergente de foco f.

Obs: Não é necessário cálculo diferencial para resolver a questão.

P4 - Dois Pontos

Havendo um objeto e um anteparo a uma distância L, quais os pontos em que a imagem formada por uma lente de foco f será nítida.

P5 - Várias lentes

Qual a relação entre a distância de um objeto ao foco (x) e a distância da imagem ao foco (x') de um sistema composto de uma lente convergente de foco 1.5a e uma lente divergente de foco -1.5a, ambas delgadas, separadas por uma distância a.