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Física - Ideia 12

Escrita por Antônio Ítalo

O método das imagens é uma técnica especial desenvolvida para encontrar o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço de maneira simples. A maneira "comum" de encontrar o potencial em qualquer lugar do espaço é resolver a chamada equação de Laplace. Para poder entender a equação de Laplace é necessário ter conhecimento de cálculo vetorial, por isso geralmente não é abordada em olimpíadas, entretanto, da equação de Laplace surge um teorema muito interessantes que será abordado a seguir.

Teorema da Unicidade

O teorema da unicidade diz que há somente uma solução para a equação de Laplace que obedece as condições de contorno para certo problema. Ou seja, há somente um potencial que satisfaz a equação de Laplace e os contornos de certo problema. A força desse teorema está no fato de que se conseguirmos gerar através de cargas imagens um potencial que obedece as condições de contorno, teremos então a única solução para o problema. Vejamos o exemplo mais clássico a seguir.

Plano Aterrado

Dado um plano infinito aterrado no plano xy de um espaço xyz e uma carga q posicionada no ponto (0,0,d) encontre o potencial para qualquer z maior ou igual a zero, o campo para qualquer z maior que zero, a força entre a carga e o plano aterrado, a distribuição de carga no plano aterrado e a carga total induzida no plano aterrado.

Solução:

Podemos posicionar uma carga imagem q no ponto (0,0,d), dessa forma o potencial na placa será 0 em todos os pontos, pois é equidistante das duas cargas de sinais opostos. Sendo assim, já sabemos o potencial e o campo elétrico acima do plano:

V(x,y,z)=KqdqKqdq

V(x,y,z)=Kqx2+y2+(zd)2Kqx2+y2+(z+d)2

E(x,y,z)=Kq((zd)2+x2+y2)3/2(xˆx+yˆy+(zd)ˆz)Kq((z+d)2+x2+y2)3/2(xˆx+yˆy+(z+d)ˆz)

É importante notar que esse resultado não é válido para z<0, pois a distribuição de carga nessa região não é a mesma. Note também que na região abaixo do plano não pode haver campo elétrico, pois, pela lei de Gauss, que diz:

EdA=qintϵ0

Onde simboliza uma integral sobre uma superfície fechada. Se essa fosse uma solução válida, a lei de Gauss estaria sendo violada, pois ao tomar uma integral sobre uma superfície fechada que incluísse nossa carga imagem q, então não obteríamos o zero que deve ser obtido. Sendo assim, o campo elétrico deve ser zero.

Sabendo disso, podemos aplicar a lei de Gauss em uma pequena "pillbox" em torno da nossa placa na posição (x,y,z). Essa pillbox é uma superfície retangular de espessura e área que tende a zero.

(EacimaˆzEabaixoˆz)A=qintϵ0

EZacimaEZabaixo=σϵ0

Essa é a condição de contorno geral para os campos elétricos perpendiculares a uma superfície, nesse caso, temos:

EZacima=2Kqd((d)2+x2+y2)3/2

EZabaixo=0

Sendo assim, temos a distribuição de cargas induzidas no plano aterrado:

σ=2ϵ0Kqd(d2+x2+y2)3/2

Antes de integrarmos, sobre toda a superfície, facilitaremos nosso trabalho se convertermos essa expressão para coordenadas polares, sendo r a distância até a origem, temos que:

σ=2ϵ0Kqd(d2+r2)3/2

Também em coordenadas polares, temos a expressão para um diferencial de área sobre o mesmo r:

dA=2πrdr

Integrando:

qind=2ϵ0Kqd02πrdr(r2+d2)3/2

Substituindo K=14πϵ0

qind=qd0rdr(r2+d2)3/2

Chame U=r2+d2, então, dU=2rdr, logo:

qind=qd2d2dUU3/2

qind=qd2(2+2d2)

qind=q

Agora só nos resta calcular a força, pode estar se perguntando se não é simplesmente a força entre a carga q e a carga q e a resposta para essa pergunta é sim, mas é necessário justificar esse fato como faremos a seguir. Sabemos que o campo elétrico acima do plano condutor é o mesmo que no caso da carga q e sua carga imagem q, logo, por definição de campo elétrico, a força elétrica também deve ser, temos então a força entre o plano aterrado e a carga q por:

|F|=Kq24d2

Esfera aterrada

Dada uma carga q a uma distância a de uma esfera condutora aterrada, encontre a distribuição de cargas, o potencial em qualquer lugar do espaço, o campo elétrico em qualquer lugar do espaço, a distribuição de cargas na superfície da esfera, a carga total induzida na esfera e a força entre a esfera e a carga.

Solução:

A situação é completamente análoga à do exemplo anterior, mas encontrar a carga imagem que garantirá a condição de contorno do potencial nulo na esfera aterrada é um pouco mais complexo. Vamos procurar por uma carga q que é colinear com o centro da esfera aterrada e a nossa carga q, que está situada à uma distância a do centro da esfera de raio R. A carga imagem estará localizada a uma distância b do centro da esfera aterrada. Observe a imagem a seguir:

350px-Esfera_condutora

Devemos garantir que para r=R, independentemente do ângulo θ, teremos potencial nulo, portanto, escrevamos o potencial em função do ângulo θ:

V=Kqd+Kqr

0=KqR2+a22Racosθ+KqR2+b22Rbcosθ

qR2+b22Rbcosθ=qR2+a22Racosθ

Para facilitar nosso trabalho, analisemos alguns casos particulares: θ=0 e θ=π

θ=0:

qRb=qRa

θ=π

qR+b=qR+a

Dividindo o caso de θ=π pelo caso de θ=0, temos:

R+bRb=R+aaR

b=R2a

Logo:

q=qRa

Agora que descobrimos a distribuição de carga que segue as condições de contorno, podemos descobrir analogamente ao item anterior (Talvez com algumas contas a mais), todas as grandezas que descobrimos anteriormente, mas isso será deixado como exercício para o leitor.

Esfera Condutora Neutra não aterrada

Dada uma carga q a uma distância a de uma esfera condutora Neutra de raio R, encontre o potencial eletrostático em qualquer lugar do espaço, o campo elétrico em qualquer lugar do espaço e a distribuição de cargas na superfície da esfera.

Solução:

Teremos nesse caso um problema muito semelhante ao anterior, entretanto as condições de contorno são um pouco diferentes. No problema anterior, conseguíamos afirmar que o potencial na superfície da esfera é nulo, entretanto, nesse problema podemos afirmar somente que o potencial é constante na superfície da esfera. Além disso, devemos usar também a nossa nova condição de contorno: A esfera é neutra. Sendo assim, as cargas imagens que forem colocadas dentro dela devem somar zero. Sabemos que a solução da questão anterior garantia um potencial nulo na superfície da esfera, entretanto, não obedece a condição da carga ser nula dentro da esfera, portanto, se adicionarmos uma carga no centro de sinal oposto ao da primeira carga imagem e mesmo módulo, seguiremos todas as condições de contorno e, portanto, poderemos então calcular o potencial eletrostático e o campo elétrico em todo o espaço fora da esfera. O cálculo dessas grandezas dentro da esfera é bem mais simples, como nossa esfera é condutora, o campo elétrico deve ser nulo, então o potencial deve ser constante e igual ao da superfície. Para calcular a distribuição de cargas simplesmente utilizaremos a mesma condição de contorno utilizada no caso do plano aterrado. Os cálculos serão deixados como exercício para o leitor.

Observação importante

A energia do sistema "cargas + cargas imagens" não é a mesma do sistema "cargas + superfícies condutoras". Isso decorre do fato de que no sistema "cargas + cargas imagens" é necessário trazer do infinito tanto as cargas reais quanto as cargas imagens, entretanto, no nosso sistema "cargas + superfícies condutoras" realizamos trabalho para trazemos as cargas reais do infinito enquanto a carga induzida simplesmente se move ao longo da superfície condutora sem necessidade de que um trabalho seja fornecido. Para o caso do plano aterrado, por exemplo, teremos que a energia desse sistema será metade da energia do sistema "carga + carga imagem".

Problemas Propostos

P1- Esfera carregada

Uma esfera condutora de carga total Q e raio R está a uma distância a de uma carga pontual q. Encontre:

a) A força entre a carga e a esfera.

b) O potencial elétrico fora da esfera.

c) A distribuição de cargas na superfície da esfera.

P2- Tempo de queda

Uma carga pontual q é solta do repouso a uma distância H de um plano condutor infinito aterrado. Encontre o tempo que levará para a carga colidir com o plano. Dica: Você pode procurar analogias com as leis de Kepler.

P3(Problemas Propuestos y Resueltos de Electromagnetismo)- Outra esfera

Considere uma esfera metálica de raio R que se encontra conectada a uma fonte de potencial V0. Em frente a essa esfera se coloca um pêndulo de comprimento L amarrado a uma parede que está a uma distância d do centro da esfera. O pêndulo tem em seu extremo uma carga pontual q de massa m que forma um ângulo ϕ com a horizontal. Desprezando todos os efeitos devido a gravidade:

a) Determine o módulo da força que a carga sente devido à esfera.

b) Considere agora que a esfera está aterrada. Determine a frequência de pequenas oscilações do pêndulo se este é desviado ligeiramente da horizontal.

Pêndulo

P4(Problemas Propuestos y Resueltos de Electromagnetismo)-Óptica?

Considere uma carga pontual q que está na bissetriz de dois condutores ideais aterrados planos que formam entre si um ângulo de 45 (Ver figura). Se a carga está a uma distância d de ambos os condutores, encontre o potencial eletrostático entre os dois condutores. Dica: Em geral, pode-se pensar nos planos aterrados como espelhos planos.Capturar

P5(Introduction to Electrodynamics-Griffiths)-Perpendiculares

Considere uma carga pontual q que está entre dois condutores ideias aterrados planos que formam entre si um ângulo de 90 (Ver figura). Se a carga está a uma distância a do condutor que está na vertical e uma distância b do condutor que está na horizontal, encontre o potencial eletrostático entre os dois condutores.Capturar