Física - Ideia 12

Escrita por Antônio Ítalo

O método das imagens é uma técnica especial desenvolvida para encontrar o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço de maneira simples. A maneira "comum" de encontrar o potencial em qualquer lugar do espaço é resolver a chamada equação de Laplace. Para poder entender a equação de Laplace é necessário ter conhecimento de cálculo vetorial, por isso geralmente não é abordada em olimpíadas, entretanto, da equação de Laplace surge um teorema muito interessantes que será abordado a seguir.

Teorema da Unicidade

O teorema da unicidade diz que há somente uma solução para a equação de Laplace que obedece as condições de contorno para certo problema. Ou seja, há somente um potencial que satisfaz a equação de Laplace e os contornos de certo problema. A força desse teorema está no fato de que se conseguirmos gerar através de cargas imagens um potencial que obedece as condições de contorno, teremos então a única solução para o problema. Vejamos o exemplo mais clássico a seguir.

Plano Aterrado

Dado um plano infinito aterrado no plano $x-y$ de um espaço $x-y-z$ e uma carga $q$ posicionada no ponto $\left(0,0,d\right)$ encontre o potencial para qualquer $z$ maior ou igual a zero, o campo para qualquer $z$ maior que zero, a força entre a carga e o plano aterrado, a distribuição de carga no plano aterrado e a carga total induzida no plano aterrado.

Solução:

Podemos posicionar uma carga imagem $-q$ no ponto $\left(0,0,-d\right)$, dessa forma o potencial na placa será $0$ em todos os pontos, pois é equidistante das duas cargas de sinais opostos. Sendo assim, já sabemos o potencial e o campo elétrico acima do plano:

$V\left(x,y,z\right)=\dfrac{Kq}{d_{q}}-\dfrac{Kq}{d_{-q}}$

$V\left(x,y,z\right)=\dfrac{Kq}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z-d\right)^{2}}}-\dfrac{Kq}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z+d\right)^{2}}}$

$\vec{E}\left(x,y,z\right)=\dfrac{Kq}{\left(\left(z-d\right)^{2}+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\left(x\hat{x}+y\hat{y}+\left(z-d\right)\hat{z}\right)-\dfrac{Kq}{\left(\left(z+d\right)^{2}+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\left(x\hat{x}+y\hat{y}+\left(z+d\right)\hat{z}\right)$

É importante notar que esse resultado não é válido para $z<0$, pois a distribuição de carga nessa região não é a mesma. Note também que na região abaixo do plano não pode haver campo elétrico, pois, pela lei de Gauss, que diz:

$\displaystyle{\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}}=\dfrac{q_{int}}{\epsilon_{0}}$

Onde $\displaystyle{\oint}$ simboliza uma integral sobre uma superfície fechada. Se essa fosse uma solução válida, a lei de Gauss estaria sendo violada, pois ao tomar uma integral sobre uma superfície fechada que incluísse nossa carga imagem $-q$, então não obteríamos o zero que deve ser obtido. Sendo assim, o campo elétrico deve ser zero.

Sabendo disso, podemos aplicar a lei de Gauss em uma pequena "pillbox" em torno da nossa placa na posição $\left(x,y,z\right)$. Essa pillbox é uma superfície retangular de espessura e área que tende a zero.

$\left(\vec{E}_{acima}\cdot\hat{z}-\vec{E}_{abaixo}\cdot\hat{z}\right)A=\dfrac{q_{int}}{\epsilon_{0}}$

$E_{Zacima}-E_{Zabaixo}=\dfrac{\sigma}{\epsilon_{0}}$

Essa é a condição de contorno geral para os campos elétricos perpendiculares a uma superfície, nesse caso, temos:

$E_{Zacima}=-2\dfrac{Kqd}{\left(\left(d\right)^{2}+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}$

$E_{Zabaixo}=\vec{0}$

Sendo assim, temos a distribuição de cargas induzidas no plano aterrado:

$\sigma=-2\epsilon_{0}\dfrac{Kqd}{\left(d^{2}+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}$

Antes de integrarmos, sobre toda a superfície, facilitaremos nosso trabalho se convertermos essa expressão para coordenadas polares, sendo $r$ a distância até a origem, temos que:

$\sigma=-2\epsilon_{0}\dfrac{Kqd}{\left(d^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}$

Também em coordenadas polares, temos a expressão para um diferencial de área sobre o mesmo $r$:

$dA=2\pi r dr$

Integrando:

$q_{ind}=-2\epsilon_{0}Kqd\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \dfrac{2\pi r dr}{\left(r^{2}+d^{2}\right)^{3/2}}}$

Substituindo $K=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}}$

$q_{ind}=-qd\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\dfrac{r dr}{\left(r^{2}+d^{2}\right)^{3/2}}}$

Chame $U=r^{2}+d^{2}$, então, $dU=2r dr$, logo:

$q_{ind}=-\dfrac{qd}{2}\displaystyle{\int_{d^{2}}^{\infty}\dfrac{dU}{U^{3/2}}}$

$q_{ind}=-\dfrac{qd}{2}\left(-\dfrac{2}{\sqrt{\infty}}+\dfrac{2}{\sqrt{d^{2}}}\right)$

$q_{ind}=-q$

Agora só nos resta calcular a força, pode estar se perguntando se não é simplesmente a força entre a carga $q$ e a carga $-q$ e a resposta para essa pergunta é sim, mas é necessário justificar esse fato como faremos a seguir. Sabemos que o campo elétrico acima do plano condutor é o mesmo que no caso da carga $q$ e sua carga imagem $-q$, logo, por definição de campo elétrico, a força elétrica também deve ser, temos então a força entre o plano aterrado e a carga $q$ por:

$|F|=\dfrac{Kq^{2}}{4d^{2}}$

Esfera aterrada

Dada uma carga $q$ a uma distância $a$ de uma esfera condutora aterrada, encontre a distribuição de cargas, o potencial em qualquer lugar do espaço, o campo elétrico em qualquer lugar do espaço, a distribuição de cargas na superfície da esfera, a carga total induzida na esfera e a força entre a esfera e a carga.

Solução:

A situação é completamente análoga à do exemplo anterior, mas encontrar a carga imagem que garantirá a condição de contorno do potencial nulo na esfera aterrada é um pouco mais complexo. Vamos procurar por uma carga $q'$ que é colinear com o centro da esfera aterrada e a nossa carga $q$, que está situada à uma distância $a$ do centro da esfera de raio $R$. A carga imagem estará localizada a uma distância $b$ do centro da esfera aterrada. Observe a imagem a seguir:

Devemos garantir que para $r=R$, independentemente do ângulo $\theta$, teremos potencial nulo, portanto, escrevamos o potencial em função do ângulo $\theta$:

$V=\dfrac{Kq}{d}+\dfrac{Kq'}{r'}$

$0=\dfrac{Kq}{\sqrt{R^{2}+a^{2}-2Ra\cos{\theta}}}+\dfrac{Kq'}{\sqrt{R^{2}+b^{2}-2Rb\cos{\theta}}}$

$\dfrac{q'}{\sqrt{R^{2}+b^{2}-2Rb\cos{\theta}}}=-\dfrac{q}{\sqrt{R^{2}+a^{2}-2Ra\cos{\theta}}}$

Para facilitar nosso trabalho, analisemos alguns casos particulares: $\theta=0$ e $\theta=\pi$

$\theta=0$:

$\dfrac{q'}{R-b}=\dfrac{q}{R-a}$

$\theta=\pi$

$\dfrac{q'}{R+b}=-\dfrac{q}{R+a}$

Dividindo o caso de $\theta=\pi$ pelo caso de $\theta=0$, temos:

$\dfrac{R+b}{R-b}=\dfrac{R+a}{a-R}$

$b=\dfrac{R^{2}}{a}$

Logo:

$q'=-\dfrac{qR}{a}$

Agora que descobrimos a distribuição de carga que segue as condições de contorno, podemos descobrir analogamente ao item anterior (Talvez com algumas contas a mais), todas as grandezas que descobrimos anteriormente, mas isso será deixado como exercício para o leitor.

Esfera Condutora Neutra não aterrada

Dada uma carga $q$ a uma distância $a$ de uma esfera condutora Neutra de raio $R$, encontre o potencial eletrostático em qualquer lugar do espaço, o campo elétrico em qualquer lugar do espaço e a distribuição de cargas na superfície da esfera.

Solução:

Teremos nesse caso um problema muito semelhante ao anterior, entretanto as condições de contorno são um pouco diferentes. No problema anterior, conseguíamos afirmar que o potencial na superfície da esfera é nulo, entretanto, nesse problema podemos afirmar somente que o potencial é constante na superfície da esfera. Além disso, devemos usar também a nossa nova condição de contorno: A esfera é neutra. Sendo assim, as cargas imagens que forem colocadas dentro dela devem somar zero. Sabemos que a solução da questão anterior garantia um potencial nulo na superfície da esfera, entretanto, não obedece a condição da carga ser nula dentro da esfera, portanto, se adicionarmos uma carga no centro de sinal oposto ao da primeira carga imagem e mesmo módulo, seguiremos todas as condições de contorno e, portanto, poderemos então calcular o potencial eletrostático e o campo elétrico em todo o espaço fora da esfera. O cálculo dessas grandezas dentro da esfera é bem mais simples, como nossa esfera é condutora, o campo elétrico deve ser nulo, então o potencial deve ser constante e igual ao da superfície. Para calcular a distribuição de cargas simplesmente utilizaremos a mesma condição de contorno utilizada no caso do plano aterrado. Os cálculos serão deixados como exercício para o leitor.

Observação importante

A energia do sistema "cargas + cargas imagens" não é a mesma do sistema "cargas + superfícies condutoras". Isso decorre do fato de que no sistema "cargas + cargas imagens" é necessário trazer do infinito tanto as cargas reais quanto as cargas imagens, entretanto, no nosso sistema "cargas + superfícies condutoras" realizamos trabalho para trazemos as cargas reais do infinito enquanto a carga induzida simplesmente se move ao longo da superfície condutora sem necessidade de que um trabalho seja fornecido. Para o caso do plano aterrado, por exemplo, teremos que a energia desse sistema será metade da energia do sistema "carga + carga imagem".

Problemas Propostos

P1- Esfera carregada

Uma esfera condutora de carga total $Q$ e raio $R$ está a uma distância $a$ de uma carga pontual $q$. Encontre:

a) A força entre a carga e a esfera.

b) O potencial elétrico fora da esfera.

c) A distribuição de cargas na superfície da esfera.

P2- Tempo de queda

Uma carga pontual $q$ é solta do repouso a uma distância $H$ de um plano condutor infinito aterrado. Encontre o tempo que levará para a carga colidir com o plano. Dica: Você pode procurar analogias com as leis de Kepler.

P3(Problemas Propuestos y Resueltos de Electromagnetismo)- Outra esfera

Considere uma esfera metálica de raio $R$ que se encontra conectada a uma fonte de potencial $V_{0}$. Em frente a essa esfera se coloca um pêndulo de comprimento $L$ amarrado a uma parede que está a uma distância $d$ do centro da esfera. O pêndulo tem em seu extremo uma carga pontual $q$ de massa $m$ que forma um ângulo $\phi$ com a horizontal. Desprezando todos os efeitos devido a gravidade:

a) Determine o módulo da força que a carga sente devido à esfera.

b) Considere agora que a esfera está aterrada. Determine a frequência de pequenas oscilações do pêndulo se este é desviado ligeiramente da horizontal.

P4(Problemas Propuestos y Resueltos de Electromagnetismo)-Óptica?

Considere uma carga pontual $q$ que está na bissetriz de dois condutores ideais aterrados planos que formam entre si um ângulo de $45^{\circ}$ (Ver figura). Se a carga está a uma distância $d$ de ambos os condutores, encontre o potencial eletrostático entre os dois condutores. Dica: Em geral, pode-se pensar nos planos aterrados como espelhos planos.

P5(Introduction to Electrodynamics-Griffiths)-Perpendiculares

Considere uma carga pontual $q$ que está entre dois condutores ideias aterrados planos que formam entre si um ângulo de $90^{\circ}$ (Ver figura). Se a carga está a uma distância $a$ do condutor que está na vertical e uma distância $b$ do condutor que está na horizontal, encontre o potencial eletrostático entre os dois condutores.