Física - Ideia 13

Escrito por Paulo Henrique

Introdução: obtendo as posições de equilíbrio

Antes de estudarmos o movimento propriamente dito, temos que aprender como obter as posições de equilíbrio de um sistema. O método aqui descrito será também de fundamental ajuda em problemas não triviais de estática.

Grande parte dos estudantes olímpicos de Física sabem lidar bem com problemas que envolvem equilíbrio: é uma matéria bastante cobrada. Pórem, a quantificação de forças e balanceamento de torques pode ser dificultosa em alguns casos. Isto é, problemas que envolvem geometria e/ou objetos rígidos são resolvidos mais facilmente quando analisamos a energia do sistema.

Desenvolvimento

A equação de movimento de uma partícula sujeita a uma força que depende apenas da posição, F(x), é:

$F(x)=m\ddot{x}$ (1)

Onde $\ddot{x}$ denota a segunda derivada temporal de $x$ . A equação (1) pode ser escrita como sendo:

$F(x)=m\frac{dv}{dt}$ (2)

Multiplicando os dois lados da equação pela velocidade da partícula:

$F(x)v=mv\frac{dv}{dt}$ (3)

Logo:

$F(x)\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2)$ (4)

Multiplicando os dois lados por $dt$ e integrando, chegamos em:

$\int{\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2)dt}=\int{F(x)\frac{dx}{dt}dt}$ $\therefore$ $\frac{1}{2}mv^2=\int{F(x)dx}+constante$ (5)

Portanto, se definirmos uma função $V(x)$ , dada por:

$V(x)=-\int{F(x)dx}$ (6)

Teremos:

$\frac{1}{2}mv^2+V(x)=constante$ (7)

Em (6), não foi representado, mas a integração é definida e deve ser feita de $x_0$ a $x$ . O limite inferior $x_0$ da integral é escolhido arbitrariamente. Geralmente, a definição é feita tal que: $V(\infty)=0$ .

Evidentemente, $V(x)$ representa a energia potencial da partícula (comumente chamada de "potencial") e a equação (7) enuncia a conservação da sua energia mecânica. A mesma se aplica quando a partícula está sujeita a forças que dependem apenas de sua posição. De fato, se a energia potencial da partícula fosse dependente do tempo por exemplo, a integração feita na equação (6) dependeria do "caminho" escolhido (podendo ser um mais longo ou mais curto, em termos de intervalo de tempo) e para um mesmo ponto no espaço teríamos diferentes energias potenciais. Isso não nos permite consevar a energia perante uma evoluçao temporal do sistema.

Perceba que nossa definição em (6) implica que:

$F(x)=-\frac{dV}{dx}$ (8)

Chegamos no ponto crucial: sabemos que a derivada de $V(x)$ se anula em pontos de máximos ou mínimos. Logo, nesses pontos:

$F=0$ (9)

O que caracteriza o equilíbrio dinâmico da partícula. Para um sistema de partículas, basta utilizarmos $x$ como a posição do centro de massa do sistema para que o resultado se aplique.

Conclusão

Dado um sistema livre de forças temporais, isto é, forças que dependem do tempo, sua energia é conservada e suas posições que equilibrio são calculadas mediante:

$F(x)=\frac{dV}{dx}=0$ (10)

Conforme veremos posteriormente, na maioria dos casos, estamos interessados no equilibrio estável (veja a segunda parte dessa ideia), onde a energia potencial do sistema é mínima. Dessa forma, procuramos miniminar $V(x)$ a fim de encontrar seu equilibrio.

Não há muito o que fazer: se conseguirmos, de alguma forma, calcular a energia potencial do sistema como função da posição, somos aptos (em princípio) a determinar as posições de equilíbrio usando a equação (10).

A partir de agora, trabalharemos com exemplos e problemas envolvendo essa ideia. Como você já deve ter percebido, em muitos casos, faremos uso da derivada de $V(x)$ . Caso não esteja muito familiarizado com essa operação, confira o lembrete abaixo:

$f(x)=x^n\to\frac{df(x)}{dx}=nx^{n-1}$

$f(\theta)=\sin(\theta)\to\frac{df(\theta)}{d\theta}=\cos(\theta)$

$f(\theta)=\cos(\theta)\to\frac{df(\theta)}{d\theta}=-\sin(\theta)$

Regra da cadeia: $\frac{df(z)}{dk(z)}=\frac{df(z)}{dg(z)}\cdot\frac{dg(z)}{dk(z)}$

Regra do produto: $d(f(x)\cdot{y(x)})=f(x)\cdot\frac{dy(x)}{dx}+y(x)\cdot\frac{df(x)}{dx}$

Exemplos

1-Pêndulo simples 1

Em que posição devemos "soltar" um pêndulo simples a fim do mesmo permanecer em repouso?

Responda a pergunta analisando a energia do sistema.

Solução:

Adotando-se o nível de referência no ponto mais baixo da trajetória, obtemos a expressão da enegia potencial da partícula. Nesse caso, aperece apenas como potencial gravitacional.

$V(\theta)=mgl(1-\cos(\theta))$

É evidente que o ângulo $\theta$ do equilíbrio estável está entre $0$ e $\frac{\pi}{2}$ . Dessa forma, $V(\theta)$ é mínimo quando $1-\cos(\theta)$ é mínimo, correspondendo a $\cos(\theta)=1$ , a posição mais baixa do pêndulo.

2-Haltere

Um leve fio é dobrado formando um angulo reto e uma bola pesada é colocada na dobra. O fio é posto sobre dois suportes com uma diferença de altura $h$ e distância horizontal $a$ . Ache o ângulo $\alpha$ (ângulo entre a bissetriz e a vertical) correspondente ao equilíbrio da bola.

Solução:

Adotemos o nível de referência na altura do primeiro suporte. Aqui, a energia potencial é gravitacional e é dada por:

$U=-mgy$

onde $y$ é a distância da bola até o primeiro suporte definida como positiva para baixa.

Observe que como o ângulo formado entre os dois segmentos do fio é $\frac{\pi}{2}$ , a bissetriz vale $\frac{\pi}{4}$ . Temos na imagem, portanto, dois ângulos com a vertical. Um vale $\frac{\pi}{4}-\alpha$ e o outro $\frac{\pi}{4}+\alpha$ .

Podemos usar a definição de tangente e concluir que:

$y\cdot{\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)}+(y+h)\cdot{\tan(\frac{\pi}{4}-\alpha)}=a$

Isolando $y$ , obtem-se $U(\alpha)$ . Para isso lembre-se de que:

$\tan(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\frac{1-\tan{\alpha}}{1+\tan{\alpha}}$ e $\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\frac{1+\tan{\alpha}}{1-\tan{\alpha}}$

Englobando as equações acima e usando o fato de $U(\alpha)$ ser mínimo no equilíbrio:

$\frac{d}{d\alpha}(U(\alpha))=0$ $\therefore$ $\frac{d}{d\alpha}(mg\frac{a-h(\tan(\frac{\pi}{4}-\alpha))}{\tan(\frac{\pi}{4}-\alpha)+\tan(45+\alpha)})=0$

Utilize o fato que $\frac{d}{d\alpha}(\tan(\alpha))={\sec(\alpha)}^2$ e a identidade trigonométrica ${\tan(\alpha)}^2+1={\sec(\alpha)}^2$ para chegar em (após um pouco de álgebra):

$\frac{2h}{a}=\tan(45+\alpha)-\tan(45-\alpha)=4\frac{\tan(\alpha)}{1-{\tan(\alpha)}^2}=2\tan(2\alpha)$

Logo, no equilíbrio:

$\tan(2\alpha)=\frac{h}{a}$

Exercícios

1-Potencial cúbico 1

Uma partícula de massa $m$ está sujeita a uma força cuja energia potencial é

$V(x)=ax^2-bx^3$

onde $a$ e $b$ são constantes positivas. Determine a força $F(x)$ e plote um gráfico de $F(x)$ .

2-Cordão elástico 1

Considere um "cordão elástico" circular de constante elástica $k$ e massa $m$ . O cordão é posto na superfície de um cone com ângulo de abertura $2\theta$ em um região com campo gravitacional $g$ uniforme. O mesmo se encontra em um raio $r$ no cone quando não têm nenhuma deformação. Ele irá abaixar até atingir uma posição de equilíbrio, em um raio $r_{eq}$ no cone. Determine $r_{eq}$ . Desconsidere qualquer atrito.

Movimento na vizinhança dos pontos de equilíbrio

É muito comum nos depararmos com problemas de olimpíadas onde uma partícula se move sujeita a forças que dependem apenas da posição. Neste caso, conforme vimos, podemos escrever:

$F(x)=-\frac{dV(x)}{dx}$ (11)

Vimos também que a força é zero quando $V(x)$ é máximo ou mínimo. Dessa forma, se colocarmos uma partícula de massa $m$ em repouso em uma dessas posições ela permanecerá em repouso indefinidamente. Essas posições são chamadas de posições de equilíbrio. Aqui, iremos desenvolver ideias que ajudam a descrever o movimento na vizinhança dessas posições.

Para isso, considere os dois casos seguintes: Se a partícula se encontra num máximo de $V(x)$ e lhe é dado um pequeno deslocamento, a força resultante tem o mesmo sinal do deslocamento. Em outras palavras, a partícula se afastará ainda mais da posição de equilíbrio. Neste caso, o equilíbrio é dito instável. Agora, se a partícula está em um minimo de $V(x)$ , a força terá o sinal contrario do deslocamento e aponta para a posição de equilíbrio. A força é dita restauradora, justamente pelo fato de acelerar a partícula de volta a posição de equilíbrio, caracterizando um equilíbrio estável.

Com essas definições em mãos, podemos dar uma inspecionada na expressão da energia mecanica da partícula:

$E=\frac{1}{2}mv^2+V(x)$ (12)

e concluir que:

$v=\sqrt{\frac{2(E-V(x))}{m}}$ (13)

Visto que essa quantia deve ser real, devemos ter:

$E\ge{V(x)}$ (14)

A desigualdade acima nos diz que uma região acessível (inacessível) à partícula é tal que sua energia é maior (menor) que $V(x)$ .

Vale lembrar que a energia mecânica da partícula é uma constante de movimento sempre que a mesma está sujeita a uma força $F=F(x)$ . Note também que o deslocamento gerado na partícula exige um incremento em sua energia mecânica, assim a partícula pode executar um movimento oscilatório em torno da posição de equilíbrio.

Como já foi dito antes, para que o equilíbrio seja estável, a partícula deve se encontrar em um mínimo de $V(x)$ . Isso pode ser expressado matematicamente pela relação:

$\frac{d^2V(x)}{dx^2}>0$ (15)

Neste ponto, somos aptos a analisar quantitativamente o que o ocorre com a partícula descrita nos paragrafos acima. Observe o gráfico abaixo para um potencial qualquer $V(x)$

Seja $x_0$ a posição inicial da partícula, onde ela se encontra em repouso em equilíbrio estável. Dado um pequeno deslocamento, ela executará um movimento oscilatório. Para perceber isso, expandimos sua energia potencial em torno de $x_0$ :

$V(x)=V(x_0)+V'(x_{0})\cdot(x-x_0)+\frac{1}{2!}V"(x_{0})\cdot{(x-x_0)}^2...$ (16)

Observe que, como o deslocamento é pequeno, qualquer potencia superior de $(x-x_0)$ é pequena se comparada com o termo quadrático e será desconsiderada. Já que $x_0$ é um ponto de equilíbrio, a primeira derivada de $V(x)$ se anula neste ponto. Perceba também que a constante aditiva no inicio da equação não nos diz nada fisicamente (a força só diz respeito a derivada de $V(x)$ conforme eq.(11)) e pode ser adotada como $0$ , sem perda de generalidade. Agrupando as informações acima, chegamos na expressão para $V(x)$ na vizinhança de $x_0$ :

$V(x)=\frac{1}{2!}V"(x_{0})\cdot{(x-x_0)}^2$ (17)

Portanto, usando a eq.(10), a equação de movimento da partícula é determinada:

$-V"(x_{0})\cdot(x-x_0)=m\ddot{x}$ (18)

Fazendo $y= x -x_0$ e $k=V"(x_{0})$ , tem-se:

$m\ddot{y}=-ky$ (19)

que é a equação do oscilador harmônico! Sendo assim, conseguimos calcular o período de pequenas oscilações em torno de $x_0$

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{V"(x_{0})}}$ (20)

E isso é tudo o que há! Veja que a simples aproximação quadrática para a energia potencial na vizinhança de $x_0$ (veja no gráfico que a função realmente se assemelha a uma parábola) nos leva a esse simples resultado.

Antes de seguirmos para as aplicações e exemplos dos nossos resultados, tome nota das seguintes observações:

Lembre-se de que, nas equações (16 a 20) as derivadas segundas devem ser aplicadas em $x=x_0$ .
Os resultados posteriores à equação (17) são válidos apenas quando $V"(x_{0})\ne{0}$ . Um potencial como $V(x)=\alpha(x-x_0)^4$ não obedece tal propriedade. (Verifique!).
A partir da equação (11) restringimos o movimento a ser unidimensional. Portanto, não use a equação (20) se $V=V(x,y)$ . (As vezes um movimento bidimensional pode ser resumido em apenas uma coordenada, veja exemplo 2)

Exemplos

1-Pêndulo simples 2

Agora, tente obter o periodo do pêndulo simples via energia.

Solução:

Conforme ja foi mostrado, a energia potencial gravitacional da massa $m$ é

$V(x)=mgl(1-\cos(\theta(x)))\to\frac{d^2V(\theta)}{d\theta^2}|\theta_0=mgl$ e $x_0=0$

Como $V=V(\theta)$ podemos escrever:

$V(\theta)=V({\theta}_0)+\frac{1}{2}mgl{(\theta-{\theta}_0)}^2=\frac{1}{2}mgl{\theta}^2$

Para pequenas ocilações:

$x\approx{l{\theta}}$ $\therefore$ $V(x)=\frac{mgx^2}{2l}$

Portanto, $V"(x_{0})=\frac{mg}{l}$ e aplicando a equação (20):

$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

2-Forças centrais

Nesse exemplo, introduzirei alguns conceitos de forças centrais para aplicarmos a ideia aqui apresentada.

Uma partícula sofre ação de uma força central se a mesma é do tipo:

$\vec{F}=F(r)\hat{r}$

onde $\hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}$ é o versor que aponta para o centro de forças.

Para darmos continuidade, invocarei o resultado conhecido da equação " $F=ma$ " para a componente tangencial ( $\theta$ ), ou seja, perpendicular à direção $\hat{r}$ . Não há qualquer força nessa direção, como foi proposto anteriormente.

$F_\theta=m(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})=0$

Multiplicando os dois lados da equação por r:

$r^2\ddot{\theta}+2r\dot{r}\dot{\theta}=0$

Perceba que a equação acima se reduz a $\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})=0$

Portanto, a quantia $L\equiv{mr^2\dot{\theta}}$ é uma constante de movimento, denominada momento angular.

Claro, poderíamos chegar nesse resultado facilmente pela definição de torque:

$\tau=\vec{r}\times\vec{F}=\frac{d}{dt}(\vec{L})$

como $\vec{F}$ aponta na mesma direção de $\vec{r}$ o produto vetorial entre esses vetores é zero e chegamos no mesmo resultado anterior: $\frac{d}{dt}\vec{L}=0$ . Optei por mostrar a primeira prova pois quando tratamos de forças centrais é extremamente útil trabalhar com a quantia $mr^2\dot{\theta}$ , o módulo do vetor momento angular.

Perceba que o movimento, nesse caso, está contido em um plano, ou seja, não é unidimensional. Para aplicar nossos resultados devemos reduzir o problema para apenas uma coordenada.

A energia de uma partícula de massa $m$ sujeita a força central é dada por:

$E=\frac{1}{2}mv^2+V(r)$

O módulo da velocidade da partícula $\vec{v}=v_r\hat{r}+v_\theta\hat{\theta}$ pode ser quebrada nas duas componentes perpediculares entre si (radial e tangencial):

$v^2={v_r}^2+{v_\theta}^2$

Em coordenadas polares:

$v_r=\frac{dr}{dt}=\dot{r}$ e $v_\theta=r\dot{\theta}$

Note que as duas coordenadas $\theta$ e $r$ não variam indenpendentemente: o produto $r^2\dot{\theta}$ deve permanecer constante sempre. Dessa forma, podemos omitir umas dessas coordenadas através do momento angular, veja:

$\dot{\theta}=\frac{L}{mr^2}$ $\therefore$ $v_\theta=\frac{L}{mr}$

E a energia da partícula é:

$E=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{L^2}{2mr^2}+V(r,\theta)$

Se definirmos outra função, o potencial efetivo da partícula, como sendo:

$V_{ef}\equiv{V(r,\theta)+\frac{L^2}{2mr^2}}$ a energia da partícula toma sua forma reduzida:

$E=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+V_{ef}(r)$

Ora, essa é a mesma energia da partícula que se move unidimensionalmente, só que nesse caso, a coordenada é $r$ ao invés de $x$ . Conclusão: Em problemas de forças centrais, todos os resultados discutidos acima se aplicam. Basta que troquemos $V(x)$ por $V_{ef}(x)$ .

Agora, finalmente, você deve ser capaz de tratar o seguinte problema:

Uma corpo de massa $m$ gira em torno de um grande planeta esférico de massa $M$ em uma órbita circular estável.

Em um instante $t_0$ é dado um pequeno impulso radial ao corpo. Esse incremento na energia mecânica do mesmo o permite realizar um movimento oscilatório em torno da posição de equilíbrio. Determine o período desse movimento.

Sol:

De acordo com a lei da gravitação universal, a força sentida pela massa $m$ é $\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r}$ . Logo, o potencial efetivo é:

$V_{ef}=\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r}$

A frequência angular definida como $\frac{2\pi}{T}$ onde $T$ é o perído pode ser calculada com ajuda da equação (20), veja:

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ com $k=\frac{d^2V(x)}{dx^2}|_{x_0}$

Antes de tudo, precisamos achar o raio $r_0$ da óbita circular. Para isso, igualamos a força gravitacional com a força centrípeta:

$\frac{GMm}{{r_0}^2}=m{\omega}^2r$

Visto que $L=mr^2\omega$

$r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$

Substituindo o valor de $r_0$ na expressão de $\omega$ , obtemos:

$\omega=\frac{G^2M^2m^3}{L^3}$

Exercícios

1-Potencial cúbico 2

Para o mesmo potencial do exercício 1 da primeira secção:

A partícula inicia o movimento na origem com velocidade $v_0$ . Mostre que, se $|v_0|<v_c$ , onde $v_c>0$ é uma certa velocidade crítica, a partícula fica confinada numa região perto da origem. Determine $v_c$

2-Cordão elástico 2

Para o mesmo problema do exercício 2 da primeira secção:

Determine o período de pequenas ocilações em torno da posição de equilíbrio.

3-Caso geral

Uma partícula de massa m move sujeita a um potencial dado por $V(r)={\beta}r^\alpha$ . Considere como dado o momento angular $L$ da partícula.

Determine o raio $r_0$ da órbita circular e ache a frequência angular de pequenas ocilações radiais em torno de $r_0$ se é dado um pequeno impulso à partícula.

Dica: Para a óbita circular, encontre a força correspondente ao pontecial: $F(r)=-\frac{d(V(r))}{dr}$ e iguale à força centrípeta. Use o momento angular para eliminar $\dot{\theta}$ das equações.