Física - Ideia 15

Escrita por Paulo Henrique

Introdução

É muito comum, em problemas de Termodinâmica, que se faça perguntas a respeito do sistema durante uma dada transformação. Por exemplo: Um gás X é submetido a uma transformação regida pela equação:

$\frac{P}{V}=constante$                           (1)

Determine o trabalho realizado pelo gás desde de $V_1$ até $V_2$. Ou seja, o aluno deve, sabendo o que ocorre com o sistema, determinar certos paramêtros termodinâmicos. Aqui, iremos desenvolver uma ideia de suma utilidade que, de certa forma, generaliza o resultado do exemplo proposto acima. Os chamados processos politrópicos são da forma:

$PV^n=constante$                                (2)

Dada essa equação, inúmeras perguntas relacionadas ao sistema podem ser feitas.

Desenvolvimento

Como você já deve ter percebido, a equação do processo não é suficiente para tratar o problema. Obviamente, deve-se saber qual o sistema em questão. Em questões de olimpíadas, a substância de trabalho a qual o processo é submetido geralmente é um gás ideal. Por motivos de aplicação, usaremos esse tipo de gás para a análise do processo. Lembre-se de que a equação de estado de um gás ideal é:

$PV=nRT$                            (3)

onde $n$ é o número de mols e as outras letras representam as funções usuais.

Podemos diferenciar (2) para obter:

$\frac{dP}{dV}V^n+PnV^{n-1}=0$

Ou

$\frac{dP}{dV}=\frac{-nPV^{n-1}}{V^n}=-\frac{nP}{V}$                (4)

Procedendo da mesma forma, diferenciemos (3):

$V\frac{dP}{dV}+P=R\frac{dT}{dV}$                              (5)

Bom, as duas equações geradas por diferenciação direta de (2) e (3) não nos dizem muita coisa. Mas um resultado interessante pode ser obtido a partir da primeira lei da Termodinâmica na forma diferencial, veja:

$dU=d'Q-PdV$                                 (6)

Podemos definir a capacidade térmica molar $C$ do sistema da seguinte forma:

$d'Q=CdT$                                   (7)

Evidentemente, $C$, que depende do processo ao qual o gás é submetido, pode ser função da temperatura, volume, etc. Portanto, se o processo é isovolumétrico (a volume constante), temos:

$dU=C_{v}dT$                              (8)

onde o subscrito em $C$ sinaliza um processo a volume constante. Logo, (6) toma a seguinte forma:

$C_{v}dT=CdT-PdV$                 (9)

Diferenciando a equação acima, obtemos:

$\frac{dT}{dV}=\frac{P}{C-C_v}$                    (10)

Podemos substituir (10) e (4) em (5). O resultado obtido é:

$C=C_v-\frac{R}{n-1}$                               (11)

Que, curiosamente, só depende de n. Podemos reduzir (11) mais ainda se percebemos que, para um gás ideal:

$C_p-C_v=R$                                e                        $\frac{C_p}{C_v}=\gamma$

Onde $C_p$ se refere a capacidade térmica do sistema em um processo a pressão constante e $\gamma$ é o chamado coeficiente de Poison, uma constante do gás.

Logo:

$C_v=\frac{R}{{\gamma}-1}$

Dessa forma, nosso resultado final toma a forma compacta:

$C(n)=\frac{R}{{\gamma}-1}-\frac{R}{n-1}$               (12)

Conforme você verá nos exemplos, essa equação, fácil de memorizar, nos permite obter várias informações sobre o sistema e nos faz economizar muito tempo em questões. Observe, que (12) é uma expressão para capacidade térmica molar dos sistema. Se quisermos obter informações quantitativas, é preciso que se multiplique pelo número de mols do gás.

Verificações

Vale a pena testar (12) para resultados já conhecidos:

1- Volume constante

Nesse caso, é melhor expressar a transformação da seguinte forma:

$VP^{\frac{1}{n}}=constante$

Dessa forma, fica claro que, como $V$ é constante e em geral $P$ não é, seu expoente deve ser zero a fim de manter o produto constante. Então $n$ tende a infinito e pela equação para $C$, chegamos em:

$C=C_V$

2-Adiabático

Evidentemente, a $n=\gamma$ e $C=0$. O que era de se esperar, visto que nessa transformação não há troca de calor.

3- Isotérmico

Sabemos pela equação de estado, $PV=constante$. Logo $n=1$, e concluimos que:

$C{\to}\infty$

Podemos interpretar isso da seguinte forma: como o gás é considerado ideal, sua energia interna, que é função de estado só depende da temperatura. Visto que $\Delta{T}=0$ temos $\Delta{U}=0$. Sendo assim, podemos escrever, a priori:

$dT=\frac{PdV}{C}=0$

Que corresponde a $C{\to}\infty$.

Aplicações

1- Suponha que a pressão $P$ e a densidade $\rho$ do ar estejam relacionadas conforme a expressão $\frac{P}{\rho^n}=constante$, independente da altura. Encontre o gradiente de temperatura correspondente.

2- Um cilindro horizontal, fechado numa extremidade, é girado com uma velocidade angular constante $\Omega$ sobre um eixo vertical passando através da extremidade aberta do cilindro. A pressão de ar exterior é igual a $P_0$, a temperatura é igual a $T$ e a massa molar de ar é igual a $M$. Encontre a pressão de ar em função da distância $r$ a partir do eixo de rotação. A massa molar é considerada como sendo independente de $r$.

Dica: Encontre o gradiente de pressão: $\frac{dP(r)}{dr}$ usando o fato que, a uma distância $r$, uma partícula de gás sofre uma aceleração ${\Omega}^2r$. Considere o gás como ideal.

3- O volume de um mol de gás ideal, com o expoente adiabático $\gamma$, varia de acordo com a lei $V=\frac{a}{T}$, onde $a$ é uma constante. Encontre a quantidade de calor obtida pelo gás nesse processo, sabendo que sua temperatura aumentou em $\Delta{T}$

4- Demonstre que em um processo politrópico, o trabalho realizado por um gás ideal é proporcional á variação de sua energia interna. Determine a constante de proporcionalidade.

5- Para quais valores de $n$ a capacidade térmica do gás será negativa?

6- Num determinado processo politrópico, o volume de argônio aumentou em $\alpha=4$ vezes. Simultaneamente, a pressão diminuiu $\beta=8$ vezes. Encontre a capacidade térmica molar do argônio nesse processo, considerando que o gás é ideal.

7- Um mol de argônio é expandido politropicamente, sendo a constante politrópica $n=1,5$. No processo, a temperatura do gás muda em $\Delta{T}=-26$ $K$. Encontre:

a) a quantidade de calor ganha pelo gás.

b) o trabalho realizado pelo gás.

8- Um mol de um gás ideal, cujo expoente adiabático é $\gamma$, sofre um processo no qual a pressão do gás é $P=aT^{\alpha}$, onde $a$ e $\alpha$ são constantes. Encontre:

a) o trabalho realizado pelo gás, sabendo que sua temperatura ganha uma variação $\Delta{T}$

b) a capacidade térmica molar do gás nesse processo. Para qual valor de $\alpha$ a capacidade térmica será negativa?

9- Um recipiente isolado termicamente é dividido por um pistão leve que
pode se mover sem fricção, como mostrado na figura. A parte esquerda é
preenchida com um mol de um gás monoatômico; o que está à direita do
recipiente é evacuado. O pistão é conectado à parede direita por meio de
uma mola, cujo comprimento livre natural é igual ao tamanho do recipiente.

Determine a capacidade térmica molar do sistema, negligenciando a capacidade do recipiente, do pistão e da mola. Considere $R$ como a constante dos gases ideais.