Física - Ideia 17

Escrita por Paulo Henrique

Introdução

Na grande maioria dos problemas de mecânica, os corpos em análise estão sujeitos à vínculos. Um vínculo é qualquer característica do sistema (ou da vizinhança com qual interage) que impõe restrições ao movimento do mesmo. Exemplos de vínculos são: fios, polias, superfícies, barras, etc. Uma partícula se movendo em um plano está sujeita ao vínculo $z=constante$, evidentemente, $z$ é um eixo perpendicular ao plano. Perceba que são denominados vínculos somente ao que se refere à restrições puramente cinemáticas: relações entre acelerações obtidas por meio do tratamento dinâmico do sistema (leis de Newton) não são ditos vínculos. Nessa ideia, explicaremos uma vasta quantidade de vínculos: desde os mais básicos aos mais complexos. Não há mais o que comentar: cada caso deve ser analisado usando o método adequado. Portanto, a partir de agora, trabalharemos com exemplos intensivamente. Alguns exemplos (os dois últimos) realmente precisarão de ideias de cálculo em suas resoluções convencionais, portanto, não são recomendadas para alunos do Nível 1.

Observação: Ao longo dessa aula é utilizada a notação $\dot{}$ para derivada temporal, ou seja:

$v=\dot{x}$

$a=\ddot{x}$

Caso não tenha conhecimento de cálculo pode somente pensar em $v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ e $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ para $\Delta t$ pequeno.

Polia Fixa

Um dos vínculos que mais aparecem em problemas de olimpíadas são os de fios. A relação é obtida impondo que o tamanho do fio é constante, por hipótese. A estratégia geral em problemas com vínculos de comprimentos fixos (fios, barras, etc) é escrever explicitamente as coordenadas das massas e impor que a derivada do comprimento em questão (em relação ao tempo) é sempre nula. Esse procedimento é direto e evita confusões que são causadas quando escrevemos relações entre os deslocamentos dos corpos (ao invés das coordenadas).

Seja $x_1$ a coordenada do bloco da esquerda, $x_2$ o da direita e $x_p$ a coordenada da polia ideal. Temos que

$x_p-x_1+x_p-x_2=constante$

Derivando a expressão acima duas vezes em relação ao tempo, e observando que a coordenada $x_p$ não muda (a polia é fixa)

$\ddot{x_1}=-\ddot{x_2}$

Polia móvel

A única diferença agora é que a coordenada $x_p$ pode mudar. Recorrendo a expressão de vínculo do exemplo anterior:

$\ddot{x}_p=\dfrac{\ddot{x}_1+\ddot{x}_2}{2}$

Em outras palavras, a aceleração da polia é a média aritmética das acelerações das massas.

Polia dupla

Esse caso é uma combinação dos dois casos passados: a polia superior é fixa mas a debaixo não. Seja os blocos enumerados de $1$ a $3$ da esquerda para a direita (a partir de agora as acelerações serão representadas somente pela letra "$a$").

$a_p=\dfrac{a_3+a_2}{2}$

Para a polia fixa, obtemos o vínculo entre $a_p$ e $a_1$

$a_p=-a_1$

Logo:

$a_1=-\dfrac{a_2+a_3}{2}$

Anel de polias

Nessa configuração apenas um fio passa por todas as polias e há $N$ massa idênticas. Utilizando a estratégia geral (observe que todas as polias superiores são fixas e têm a mesma altura $h$)

$2(h-x_1)+2(h-x_2)+2(h-x_3)+...+2(h-x_N)=constante$

Para as acelerações (deriva-se a expressão acima duas vezes com relação ao tempo)

$a_1+a_2+a_3+...+a_N=0$

3 polias

Observe que neste caso há dois fios. Enumerando as polias de 1,2 e 3 (1 e 2 fixas e 3 móvel) e as massas de 1 e 2, temos

$x_{p1}-x_1+x_{p1}-x_{p3}+H-x_{p3}+2(x_{p2}-x_{p2})=constante$

onde $H$ é a altura do teto. $x_{p1}$, $x_{p2}$ e $H$ são constante, assim com $H$, logo, para as acelerações

$a_1=-4a_2$

2 igual a 1

Qual a aceleração das massas considerando polias ideais (sem massa)? Observe que apenas um fio passa pelas 3 polias e pelas duas massas. Sendo assim, a tração no fio é contante, caso não fosse um pedaço de fio teria uma aceleração infinita, visto que $\frac{\Delta{T}}{\Delta{m}}=a$. Logo, olhando para a polia da esquerda, podemos fazer o equilíbrio de forças ($F=ma=0$)

$2T=T$

O que implica $T=0$. Portanto, as polias não funcionam e as duas massas estão em queda livre.

Massa equivalente

Nesse exemplo provarei um importante teorema que nos faz economizar muito tempo em problemas de polias.

Dada a configuração acima, queremos substituir as duas massas por uma só, dita massa equivalente, de tal forma que a "inércia" das duas configurações seja a mesma. Mas o que é a inércia? Veja, imagine que você segure a base da polia. Todo detalhe da configuração é omitido por uma caixa: você não sabe o que tem dentro. Tudo o que você sabe é a força necessária para sustentar esse sistema. Logo, a inércia representa a força de sustentação e queremos uma massa que gere a mesma força da configuração real. Como a polia é fixa:

$a_1=-a_2$

Utilizando a segunda lei de Newton separadamente para cada massa

$T-m_1g=m_1a_1$

$T-m_2g=m_2a_2$

Com essas 3 equações em mãos, somos capazes de determinar a tração no fio

$T=\dfrac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$

Perceba, porém, que a força de sustentação é $2T$ (mesmo módulo que a força sentida pela polia). Essa mesma força é igual ao peso equivalente

$\dfrac{4m_1m_2}{m_1+m_2}g=m_eg$      $\to$        $m_e=\dfrac{4m_1m_2}{m_1+m_2}$

Sendo assim, as duas massas podem ser substituídas por uma massa $m_e$. Para a generalização do caso não estático, veja aqui.

 

Infinitas polias

Qual a aceleração do bloco mais da esquerda?

Como o sistema se estende ao infinito, tirar uma massa não afeta a configuração. Logo, o sistema equivalente, com apenas a massa $m_e$ é equivalente ao sistema onde a polia fixa sustenta as massas $m_e$ e a massa $M$ mais da esquerda. Portanto:

$m_e=\dfrac{4m_eM}{M+m_e}$    $\to$    $m_e=3M$

A aceleração é dada por

$a=\dfrac{m_e-M}{m_e+M}g=\frac{g}{2}$

Um pouco de dinâmica

Qual a aceleração do bloco de massa $M$?

Utilizando a estratégia geral:

$(x_p-x_1)+(y_p-y_2)=constante$

Logo

$a_p=a_1+a_2$

Utilizando a segunda lei de Newton para cada bloco

$T=ma_1$

$T-mg=ma_2$

$-T=Ma_p$

Resolvendo para $a_p$

$a_p=\dfrac{g}{2\frac{M}{m}+1}$

Barra deslizando

Dado que a velocidade do ponto inferior da barra é $v$, qual a velocidade que a ponta superior desliza ao longo da parede? A resposta também deve ser expressa em função do ângulo de a barra faz com a vertical ($\theta$).

O tamanho da barra é fixo, logo

$x^2+y^2=constante$

Derivando uma vez em relação tempo

$v_y=-\dfrac{xv}{y}=v\tan{\theta}$

Fio inextensível

Na figura acima, um fio inextensível passa por dois anéis. Os anéis pode se movimentar sem atrito ao longo de dois trilhos verticais. A distância entre os trilhos vale $b$. Se o ponto $O'$ desce com velocidade $v$ constante, qual é a velocidade do anel $O$? Assuma que o fio esteja fixado no ponto $A'$. Note que a seg

Defina $y$ como a distância de $A'$ até $O'$ e $y'$ a distância de $O$ a $A$. Como o tamanho do fio é constante, temos

$y+b\frac{1}{\sin{\alpha}}=constante$

Derivando a expressão em relação ao tempo

$\dot{y}=\dfrac{b\cos{\alpha}\dot{\alpha}}{{\sin{\alpha}}^2}$

Note que $\dot{\alpha}$ é a velocidade angular $\omega$.

Por definição

$y'=y+b/tan{\alpha}$

Logo

$\dot{y}'=\dot{y}-\dfrac{b\omega}{{\sin{\alpha}}^2}$

Eliminando $\omega$ das equações acima, obtemos a velocidade do anel $O$

$\dot{y}'=v(1-\dfrac{1}{\cos{\alpha}})$

 

 

Exercícios

1- Determine a aceleração da bola.

 

2- Qual a velocidade da caixa? Assuma que as cordas sejam paralelas às velocidades dos tratores que as puxam.

 

3- Para qual razão $\dfrac{M}{m}$ o ângulo $\alpha$ ficará constante durante o movimento?

4- A bolinha baixo é fixa em um ponto do solo. Sabendo que o sistema é solto a partir do repouso, e que o bloco perde o contato com a bolinha quanto o fio que liga ela ao solo faz um ângulo $\dfrac{\pi}{6}$ com a horizontal, determine a velocidade do bloco maior no instante da perda de contanto.

 

Problemas

Vínculo não trivial

Um bloco de massa $M$ se aproxima de uma parede. Entre eles há uma pequena bolinha de massa $m$. Determine a distância mínima entre o bloco e a parede. Assuma que $m$ é muito menor que $M$ e que todas colisões sejam elásticas. Expresse sua resposta em termos da distância inicial da bolinha menor a parede $L_0$.

Vínculo com atrito

Determine a aceleração do bloco do meio. O coeficiente de atrito entre os blocos vale $k$ e o piso é liso. Assuma também que a polia seja ideal.

Desafio

Uma barra lisa é posicionada fazendo um ângulo $\alpha$ com a horizontal. Um pequeno anel de massa $m$ pode deslizará ao longa da barra. A pequena massa é conectada por um fio a uma massa $M$. Inicialmente o sistema está em repouso como na figura abaixo. Imediatamente após o sistema ser solto, qual a aceleração da massa $M$?