Matemática Para Olimpíada

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matematicaOs livros nos contam que, em tempos mais antigos, matemáticos desafiavam uns aos outros propondo questões complicadas e por muitas vezes se reuniam em praça pública  para a realização de torneios, onde teriam que resolver equações difíceis. O que nasceu talvez por um capricho do ego destas pessoas tomou forma mais salutar com a realização da 1ª Olimpíada de Matemática, na Hungria em 1896. De lá pra cá, as competições de matemática entre estudantes vêm a cada dia se organizando e se mostrando um forte indicador para descobrir novos talentos para a ciência.A olimpíada  de matemática no Brasil consiste, basicamente, em duas competições principais, em primeiro lugar a OBM e em segundo a OBMEP.A OBM é a mais antiga olimpíada do Brasil, aberta pros públicos do sexto ano até alunos de ensino médio. A olimpíada também ajuda na  seleção do grupo que representará o Brasil na IMO.A OBMEP é exclusiva para alunos de escola pública, ela tem o título de maior olimpíada do mundo com mais de 19 milhões de participantes.Começaremos com um artigo escrito pelos professores Carlos Shine, Edmilson Motta e Eduardo Tengan para o blog Seleção para a IMO e Iberoamericana. Ele é um resumo das matérias necessárias para a prova da IMO, além de outras dicas de estudo.

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(i) Teoria dos Números: teorema de Euler-Fermat (incluindo menor expoente e Lema de Hensel), teorema Chinês dos Restos, Raízes Primitivas, Equação de Peil (generalizada ou não), Resíduos Quadráticos e Reciprocidade Quadrática, Noções de Aproximações Diofantinas. Obtenção de novos fatores primos a partir de mdcs pequenos; “Se você fatorar, tire o mdc dos fatores”.

(ii) Geometria: arrastão de ângulos; lei dos senos (e uma boa intimidade com Trigonometria); teorema de Ptolomeu, Ceva e Menelaus, reta de Euler; circunferência dos nove pontos; eixo radical; circunferência de Apolônio. Inversão. Geometria Projetiva Instrumental. Noções de Transformações Geométricas: rotações, roto-homotetias e suas “semelhanças automáticas”; homotetia e composição de homotetias. Desigualdade de Erdôs-Mordell; teorema isoperimétrico. Geometria Analítica: uso como estratégia vencedora (com o auxílio da trigonometria e números complexos). Números Complexos. Vetores. Coordenadas Trilineares. Conjugados isogonais. Simedianas.

(iii) Álgebra:

(iii-1) Polinômios: Paralelo com Números Inteiros (divisibilidade, divisão euclidiana, fatoração única, congruências, teorema chinês dos restos); polinômio interpolador de Lagrange; tabelas de diferença; irredutibilidade (teorema da raiz racional, lema de Gauss, critério de Eisenstein); fatoração única de polinômios com coeficientes em Z/pZ; polinômio minimal de um número algébrico; raízes da unidade como marcadores; análise.

(iii-2) Desigualdades: médias, Cauchy-Schwarz, médias potenciais; rearranjo; Chebyshev; Jensen; uso de pesos nas desigualdades citadas; considerações relativas à convexidade co falta dela (quando aproximar e afastar os pontos); utilização de indução; substituições (x = a – b + c, trigonométricas, etc); interpretações geométricas; desigualdades trigonométricas; Bunchinge Schur.

(iii-3) Corpos Finitos: polinômios módulo primo; polinômio irredutível — alguns fatos e cálculos (sonho de todo estudante: (a + b)≡ a+ bp (mód. p)); utilização na solução de recorrências lineares módulo um primo.

(iii-4) Funções: pontos fixos; utilização de desigualdades para concluir fatos sobre crescimento e completeza (e.g., f(x²) = (f(x))² ↔ f(R) ≥ 0, cf. problema 2,  IMO Moscou); se f(f(x)) = g(x) e g é injetora, então f é injetora; se f(g(x)) = h(x) e h é sobrejetora, então f é sobrejetora; se g é sobrejetora e encontramos f(g(x)) em função de g(x) então o problema acabou (cf. problema 6, IMO 1999); equação de Cauchy (em geral, o caminho Z → Q → R); no caso de funções com domínio Z ou Q, verificar se f é multiplicativa; simplificar notação (fazer f(constante) = a); utilização de simetria (e falta dela) para obter relações.

(iii-5) Análise: teorema do valor intermediário (Bolzano); argumentos do tipo “para suficientemente grande”.

(iii-6) Indução: indução completa; princípio da boa ordenação; indução em subconjuntos convenientes (multiplicativa, potências de 2); tomando a base de indução suficientemente grande; generalizando; fortalecendo a hipótese de indução.

(iv) Combinatória:

(iv-0) Estude casos pequenos: busca de padrões, obtenção de estruturas em contagens mais difíceis; estude casos grandes: comportamento assintótico de contagens.

(iv-1) Contagem e Contagem Dupla: bijeções; “tudo menos o que não interessa”; probabilidades; injeções, sobrejeções; obtenção de igualdades e desigualdades com contagem dupla, bijeções e injeções; recursões e estimativas utilizando recursões.

(iv-2) Princípio da Casa dos Pombos: formulação contínua, teorema de Kronecker, teorema de Ramsey.

(iv-3) Teoria dos Grafos: indução (sempre reduzindo o casou para os anteriores, e não o contrário); árvores; algoritmos em geral (problema 3 da IMO 2007); algoritmo de Kruskai; busca em profundidade; busca em largura; algoritmos de ordenação de conjuntos; caminhos e circuitos eulerianos; coloração de vértices em grafos, incluindo teorema das cinco cores; teorema de Turán; grafos planos (V - A + E = 2, teorema de Kuratowski); grafos bipartidos (caracterização: sem cíclos ímpares). Teorema dos casamentos, Max-Flow, Min-Cut.

(iv-4) Funções Geratrizes: fórmula de multisecção (números complexos como marcadores); utilização de várias variáveis; coeficientes em Z/pZ (recorrências lineares módulo p); analogia com pinturas em tabuleiros.

(iv-5) Geometria Combinatória: conceitos: diâmetro de um conjunto, conjunto convexo, fecho convexo; técnicas: casos extremos (problema de Silvester), princípio da casa dos pombos (problemas envolvendo pinturas do plano, coberturas); contagem (número de distâncias repetidas); determinação de possíveis posições de um ponto indeterminado; escolha de uma direção adequada.

(iv-6) Invariantes: determinação e construção de invariantes (paridade, restos, pinturas, funções); semi-invariantes (determinação e construção). “invariante automático” em recursões lineares homogêneas cujo polinõmio característico é divisível por x – 1.

(iv-8) Indução: como fazer a partir de casos pequenos; obtenção de algoritmos a partir da indução.

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Você pode consultar todo o artigo clicando aqui!

MathLinks

O site que também é conhecido como  “Art of Problem Solving”,  é um dos mais famosos fóruns de discussões de problemas em Matemática do mundo. o Mathlinks reune milhares de matemáticos loucos por desafios, se você tem uma dúvida em um problema lá eh o lugar para tira-la, se deseja a resolução de alguma prova internacional você também irá, provavelmente, encontrar lá suas soluções.

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POTI

O programa "Polos Olímpicos de Treinamento Intensivo (POTI)" tem como objetivo dar cursos gratuitos de matemática para os estudantes de todo o Brasil. Esse curso curso é presencial em algumas cidades mas todo o material e vídeos do programa (que foram feitos pelos melhores professores do Brasil) estão disponíveis no site do POTI. O curso para cada um dos níveis cobrirá os conteúdos de Álgebra, Combinatória, Geometria Plana e Teoria dos Números.

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Eureka!

A revista Eureka! tem como objetivo divulgar a matemática e sua beleza pelo país, também com o objetivo de suprir a falta de materiais em português e para alunos de Ensino Fundamental (mesmo assim ela contém diversos artigos avançados para o ensino médio).

A revista também divulga resultados de olimpíadas e as soluções da OBM.

O download da revista é gratuito e pode ser realizado clicando aqui!

Mathematical Excalibur

Uma das revistas matemáticas mais conhecidas do mundo. Ela contém diversos pequenos artigos sobre um assunto matemático específico, com diversos exemplos e problemas famosos. Perfeito pra quem busca teoria pequena e problemas selecionados!
Essa revista pode ser baixada gratuitamente em seu site oficial.

Link para download.

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Escrito por Matheus Carioca Sampaio.

 

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