Soluções Cálculo - Semana 1

Iniciante

Neste problema, queremos saber somente direta e objetivamente $\lim\limits_{x \rightarrow 0} 3x+5$
Sabemos que a função $f(x)=3x+5$ é contínua (polinomial), ou seja, se "comporta bem", podendo ter seu limite calculado para todo $x$. Então, quando $x$ vai tendendo a zero, o que acontece com $3x+5$? Vai tendendo a $5$!

Intermediário

A quantidade de cascalho não processado a um tempo t é dada por:

$$F(t)=\displaystyle \int_{0}^{8} 90+45cos(t)dt$$

Ou seja, como a taxa de chegada de cascalho é o quanto a quantidade de cascalho varia no tempo, para acharmos a função da quantidade de cascalho, basta integrar a da taxa. Portanto, teremos

$$\displaystyle 90\int_{0}^{8}dt+\displaystyle 45\int_{0}^{8}cos(t)dt$$

Achando as antiderivadas e colocando-as nos intervalos, teremos $90t$ nos intervalos de $0$ a $8$ mais $45sen(t)$ nos intervalos de $0$ a $8$, que resulta em $764.547$ toneladas. Adicionando as $135$ toneladas iniciais, teremos $899.547$ toneladas não processadas. Agora, para acharmos a quantidade final de cascalho, devemos fazer o mesmo com a taxa de processamento:

$$\displaystyle 100\int_{0}^{8}dt$$

que é igual a $100t$ nos intervalos de $0$ a $8$, que é igual a $800$. Subtraindo o segundo resultado do primeiro, teremos

$$899.547-800=99.547$$

toneladas, que é o nosso resultado final!

Avançado (Solução adaptada de Alícia Fortes Machado)

Aqui, vamos começar a usar integrais para calcular o volume do sólido de revolução gerado através da rotação da função em torno do eixo $x$. Utilizando o método do disco circular, teremos que $r=f(x)=y$ (o raio dos discos irá variar de acordo com $f(x)$). Então podemos escrever:

$$dV=\pi(r^2)dx$$

$$dV={\pi[f(x)]^2}dx$$

$$V=\pi\displaystyle \int_{0}^{k} {[f(x)]}^2dx$$

$$V=\pi\displaystyle \int_{0}^{k} [e^{2x}]^2dx=\pi\displaystyle \int_{0}^{k} [e^{4x}]dx$$

Pelo método de substituição, temos: $u=4 x$, portanto $du=4 dx$ e, finalmente, $dx=\frac{du}{4}$. Então:

$$V=\frac{\pi}{4}\displaystyle \int_{0}^{k} {e^u}du$$

Logo, o volume será

$$V=\frac{\pi}{4}[e^{4k}-1]$$