Soluções Cálculo - Semana 1

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Iniciante

Neste problema, queremos saber somente direta e objetivamente \lim\limits_{x \rightarrow 0} 3x+5
Sabemos que a função f(x)=3x+5 é contínua (polinomial), ou seja, se "comporta bem", podendo ter seu limite calculado para todo x. Então, quando x vai tendendo a zero, o que acontece com 3x+5? Vai tendendo a 5!

Intermediário

A quantidade de cascalho não processado a um tempo t é dada por:

F(t)=\displaystyle \int_{0}^{8} 90+45cos(t)dt

Ou seja, como a taxa de chegada de cascalho é o quanto a quantidade de cascalho varia no tempo, para acharmos a função da quantidade de cascalho, basta integrar a da taxa. Portanto, teremos

 \displaystyle 90\int_{0}^{8}dt+\displaystyle 45\int_{0}^{8}cos(t)dt

Achando as antiderivadas e colocando-as nos intervalos, teremos 90t nos intervalos de 0 a 8 mais 45sen(t) nos intervalos de 0 a 8, que resulta em 764.547 toneladas. Adicionando as 135 toneladas iniciais, teremos 899.547 toneladas não processadas. Agora, para acharmos a quantidade final de cascalho, devemos fazer o mesmo com a taxa de processamento:

\displaystyle 100\int_{0}^{8}dt

que é igual a 100t nos intervalos de 0 a 8, que é igual a 800. Subtraindo o segundo resultado do primeiro, teremos

899.547-800=99.547

toneladas, que é o nosso resultado final!

Avançado (Solução adaptada de Alícia Fortes Machado)

Aqui, vamos começar a usar integrais para calcular o volume do sólido de revolução gerado através da rotação da função em torno do eixo x. Utilizando o método do disco circular, teremos que r=f(x)=y (o raio dos discos irá variar de acordo com f(x)). Então podemos escrever:

dV=\pi(r^2)dx

dV={\pi[f(x)]^2}dx


V=\pi\displaystyle \int_{0}^{k} {[f(x)]}^2dx


V=\pi\displaystyle \int_{0}^{k} [e^{2x}]^2dx=\pi\displaystyle \int_{0}^{k} [e^{4x}]dx


Pelo método de substituição, temos: u=4 x, portanto du=4 dx e, finalmente, dx=\frac{du}{4}. Então:

V=\frac{\pi}{4}\displaystyle \int_{0}^{k} {e^u}du


Logo, o volume será

V=\frac{\pi}{4}[e^{4k}-1]

 

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