Soluções Cálculo - Semana 10

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Iniciante

a) Vendo a função como uma composta, teremos o seguinte:

f'(x)=30(1-4x+7x^5)^{30-1}\cdot d(1-4x+7x^5)


=30(1-4x+7x^5)^{29}\cdot (35x^4-4)

b) Tendo achado f'(x) e sabendo que a função e suas derivadas são contínuas para todo x real, basta substituir x por 0:

f'(0)=30(1-4\cdot 0+7(0)^5)^{29}\cdot (35(0)^4-4)=30\cdot (-4)=-120

c) Analogamente,

f'(1)=30(35-4)(1-4+7)^{29}=30(31)(4)^{29}=930(4)^{29}

d)

f'(2)=30(35\cdot 16-4)(1-8+224)^{29}=30(556)(217)^{29}

Intermediário

Por integração por partes, temos:

\displaystyle \int u\cdot dv=uv- \displaystyle \int v\cdot du

onde u=ln^2(x) e dv=dx. Assim,

du=2(ln(x))\frac{1}{x}dx=\frac{2\cdot ln(x)}{x}dx

e v=x. Portanto,

x\cdot ln^2(x)- \displaystyle \int x\cdot \frac{2ln(x)}{x}\cdot dx

=x\cdot ln^2(x)- 2\displaystyle \int ln(x)\cdot dx

Usando a integração por partes novamente, temos: u=ln(x) e dv=dx \rightarrow du=\frac{1}{x}dx e v=x. Portanto,

\displaystyle \int ln^2(x)dx=x\cdot ln^2(x)-2[x\cdot ln(x)-\displaystyle \int x\frac{1}{x}dx]

=x\cdot ln^2(x)-2x\cdot ln(x)+2\displaystyle \int 1dx

=x\cdot ln^2(x)-2x\cdot ln(x)+2x+C

Avançado

Primeiro note que -1\leq cos(2x)\leq 1. Logo, 0\leq cos^2(2x)\leq +1. Já que estamos considerando x tendendo a \infty, é razoável assumir que 3-2x< 0. Assim, dividindo todos os termos por 3-2x, temos:

\frac{1}{3-2x}\leq \frac{cos^2(2x)}{3-2x}\leq \frac{0}{3-2x}

Portanto,

\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{3-2x}=0=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} 0

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\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{cos^2(2x)}{3-2x}=0

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