Soluções Cálculo - Semana 10

Iniciante

a) Vendo a função como uma composta, teremos o seguinte:

$$f'(x)=30(1-4x+7x^5)^{30-1}\cdot d(1-4x+7x^5)$$

$$=30(1-4x+7x^5)^{29}\cdot (35x^4-4)$$

b) Tendo achado $f'(x)$ e sabendo que a função e suas derivadas são contínuas para todo $x$ real, basta substituir $x$ por $0$:

$$f'(0)=30(1-4\cdot 0+7(0)^5)^{29}\cdot (35(0)^4-4)=30\cdot (-4)=-120$$

c) Analogamente,

$$f'(1)=30(35-4)(1-4+7)^{29}=30(31)(4)^{29}=930(4)^{29}$$

d)

$$f'(2)=30(35\cdot 16-4)(1-8+224)^{29}=30(556)(217)^{29}$$

Intermediário

Por integração por partes, temos:

$$\displaystyle \int u\cdot dv=uv- \displaystyle \int v\cdot du$$

onde $u=ln^2(x)$ e $dv=dx$. Assim,

$$du=2(ln(x))\frac{1}{x}dx=\frac{2\cdot ln(x)}{x}dx$$

e $v=x$. Portanto,

$$x\cdot ln^2(x)- \displaystyle \int x\cdot \frac{2ln(x)}{x}\cdot dx$$

$$=x\cdot ln^2(x)- 2\displaystyle \int ln(x)\cdot dx$$

Usando a integração por partes novamente, temos: $u=ln(x)$ e $dv=dx$ $\rightarrow$ $du=\frac{1}{x}dx$ e $v=x$. Portanto,

$$\displaystyle \int ln^2(x)dx=x\cdot ln^2(x)-2[x\cdot ln(x)-\displaystyle \int x\frac{1}{x}dx]$$

$$=x\cdot ln^2(x)-2x\cdot ln(x)+2\displaystyle \int 1dx$$

$=x\cdot ln^2(x)-2x\cdot ln(x)+2x+C$

Avançado

Primeiro note que $-1\leq cos(2x)\leq 1$. Logo, $0\leq cos^2(2x)\leq +1$. Já que estamos considerando $x$ tendendo a $\infty$, é razoável assumir que $3-2x< 0$. Assim, dividindo todos os termos por $3-2x$, temos:

$$\frac{1}{3-2x}\leq \frac{cos^2(2x)}{3-2x}\leq \frac{0}{3-2x}$$

Portanto,

$$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{3-2x}=0=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} 0$$

$$\Downarrow$$

$$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{cos^2(2x)}{3-2x}=0$$