Soluções Cálculo - Semana 11

Iniciante

A função é definida em $x=0$, já que $f(0)=2$. O limite lateral à esquerda é

$$\lim \limits_{x \rightarrow 0^-} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^-} \frac{x-6}{x-3}=\frac{-6}{-3}=2$$

E o limite lateral à direita é

$$\lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^+} \sqrt{4+x^2}=\sqrt{4}=2$$

Analogamente, o limite seguinte existe e é igual a

$$\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=2=f(0)$$

Assim, todas as condições são satisfeitas e a função é contínua em $x=0$.

Intermediário

Pode não ser óbvio, mas este problema pode ser visto como um problema de diferenciação. Lembre-se que

$$f'(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Se $f(x)=sin(x)$, ent\~ao $f'(x)=cos(x)$, e, colocando $x$ como $\frac{\pi}{3}$, segue que

$$\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{sin(\frac{\pi}{3}+h)-sin(\frac{\pi}{3})}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(\frac{\pi}{3}+h)-f(\frac{\pi}{3})}{h}$$

$$=f'(\frac{\pi}{3})=cos(\frac{\pi}{3})$$

$=\frac{1}{2}$

Avançado

Sendo $x$ o valor de um lado da base da caixa e $y$ sua altura, a área total da superfície da caixa é $48 m^2=$ (área da base) $+$ $4$(área de um lado)

$$=x^2+4(xy) 4xy=48-x^2$$

$$y=\frac{48-x^2}{4x}=\frac{48}{4x}-\frac{x^2}{4x}=\frac{12}{x}-\frac{x}{4}$$

.

Agora, precisamos maximizar o volume da caixa: $V=(comprimento)(largura)(altura)=x^2y$

$$V(x)=x^2(\frac{12}{x}-\frac{x}{4})=12x-\frac{x^3}{4}$$

Diferenciando a equação, tem-se que

$$V'=0=12-\frac{3x^2}{4}=\frac{3}{4}(16-x^2)=\frac{3}{4}(4+x)(4-x)$$

Logo, $x=4$ ou $x=-4$. Já que neste problema $x>0$ e que a base da caixa é quadrada e há $48m^2$ de material a ser utilizado, segue que $0<x\leq \sqrt{48}$. Veja o gráfico de sinal para $V'$:

Assim, o volume máximo será dado quando $x=4m$ e $y=2m$, implicando em um volume de $32m^3$.