Soluções Cálculo - Semana 11

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Iniciante

A função é definida em x=0, já que f(0)=2. O limite lateral à esquerda é

\lim \limits_{x \rightarrow 0^-} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^-} \frac{x-6}{x-3}=\frac{-6}{-3}=2

E o limite lateral à direita é

\lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^+} \sqrt{4+x^2}=\sqrt{4}=2

Analogamente, o limite seguinte existe e é igual a

\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=2=f(0)

Assim, todas as condições são satisfeitas e a função é contínua em x=0.

Intermediário

Pode não ser óbvio, mas este problema pode ser visto como um problema de diferenciação. Lembre-se que

f'(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Se f(x)=sin(x)$, ent\~ao $f'(x)=cos(x), e, colocando x como \frac{\pi}{3}, segue que

\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{sin(\frac{\pi}{3}+h)-sin(\frac{\pi}{3})}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(\frac{\pi}{3}+h)-f(\frac{\pi}{3})}{h}

=f'(\frac{\pi}{3})=cos(\frac{\pi}{3})

=\frac{1}{2}

Avançado

Sendo x o valor de um lado da base da caixa e y sua altura, a área total da superfície da caixa é 48 m^2= (área da base) + 4(área de um lado)

=x^2+4(xy) 4xy=48-x^2

y=\frac{48-x^2}{4x}=\frac{48}{4x}-\frac{x^2}{4x}=\frac{12}{x}-\frac{x}{4}

.

solucaosemana11

Agora, precisamos maximizar o volume da caixa: V=(comprimento)(largura)(altura)=x^2y

V(x)=x^2(\frac{12}{x}-\frac{x}{4})=12x-\frac{x^3}{4}

Diferenciando a equação, tem-se que

V'=0=12-\frac{3x^2}{4}=\frac{3}{4}(16-x^2)=\frac{3}{4}(4+x)(4-x)

Logo, x=4 ou x=-4. Já que neste problema x>0 e que a base da caixa é quadrada e há 48m^2 de material a ser utilizado, segue que 0<x\leq \sqrt{48}. Veja o gráfico de sinal para V':

2semana11

Assim, o volume máximo será dado quando x=4m e y=2m, implicando em um volume de 32m^3.

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