Soluções Cálculo - Semana 13

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Iniciante

Primeiro aplica-se logaritmo natural a ambos os lados da equação:

 \ln y = \ln x^x

Em seguida, deriva-se ambos os lados da equação:

 \ln y = x \ln x

 \displaystyle{ { 1 \over y } } y' = x \displaystyle{ 1 \over x } + (1) \ln x

 = 1 + \ln x

Finalmente, multiplica-se os dois membros da equação por y:

 y' = y (1 + \ln x)

Como y=x^x, temos que y' é:

= x^x (1 + \ln x)

Intermediário

Começa-se com (x^2+y^2)^3 = 8x^2y^2 Depois, diferencia-se:

d[(x^2+y^2)^3] = d(8x^2y^2)

3(x^2+y^2)^2\cdot d(x^2+y^2)=8x^2\cdot d(y^2) + d(8x^2)y^2

3(x^2+y^2)^2(2x + 2yy')=8x^2 (2yy') + ( 16x ) y^2

6x(x^2+y^2)^2 + 6y(x^2+y^2)^2 y' = 16x^2yy' + 16xy^2

Organizando os termos da equação, tem-se que:

6y(x^2+y^2)^2y' - 16x^2yy'=16xy^2 - 6x(x^2+y^2)^2

Isolando o y':

y'[ 6 y (x^2+y^2)^2 - 16 x^2 y ] = 16 x y^2 - 6x (x^2+y^2)^2

Logo,

y'=\displaystyle{16xy^2 - 6x(x^2+y^2)^2 \over 6y(x^2+y^2)^2 - 16x^2y}

Portanto, a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (-1,1) é

m=y'=\displaystyle{16(-1) (1)^2 - 6(-1) ((-1)^2+(1)^2)^2 \over 6 (1) ((-1)^2+(1)^2)^2 - 16 (-1)^2 (1)}= \displaystyle{8\over 8}=1

e a equação para a reta tangente é

y-(1)=(1) (x-(-1))

ou y = x + 2

Avançado

Já que g(x) é a antiderivada de f(x), tem-se que

g'(x)=f(x)

ou g(x)=\displaystyle \int_{a}^{x} \sqrt[3]{x^2+4x}dx

O truque aqui é não utilizar regras convencionais de integração, mas o seguinte:

h(x)=g(x)-7

Assim, h(x) é também antiderivada de f(x) e

h(5)=0

Pode-se escrever h(x)=\displaystyle \int_{5}^{x} \sqrt[3]{x^2+4x}dx

Note que quando substitui-se a por 5 temos h(x)=0, como desejado.

Desta forma, h(1)=\displaystyle \int_{5}^{1} \sqrt[3]{x^2+4x}dx=-10.88222

Finalmente, já que h(x) = g(x) - 7, segue que g(x) = h(x) + 7 e que g(1)=h(1)+7=-10.88222 + 7 = -3.88222

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