Soluções Cálculo - Semana 14

Iniciante

Como a função dada ($f(x)=2^x$) satisfaz as condiçõeses: $f(x)=a^x$, com $a>0, a\neq 1$ e x pertencentes aos reais, pode-se aplicar a relação: $f'(x)=a^xln(a)$. Assim, $f'(x)=2^xln(2)$ $f'(3)=2^3ln(2)\cong 5,54$

Intermediário

Seja $u=\ln x$ e $dv = \displaystyle{ 1 \over x^5 } \ dx = x^{-5} \ dx$
Assim, $du=\frac{1}{x}dx$ e $v=\frac{x^{-4}}{-4}=\frac{-1}{4x^4}$
Portanto, $\displaystyle \int \frac{ln(x)}{x^5}dx=ln(x)\frac{-1}{4x^4}-\displaystyle \int \frac{-1}{4x^4}\cdot \frac{1}{x}dx$
$=\displaystyle{-{\ln{x} \over 4x^4}+(1/4)\int { 1 \over x^5 } \, dx}$
$= \displaystyle{-{\ln{x} \over 4x^4}+(1/4)\int { x^{-5} } \, dx}$
$= \displaystyle{-{\ln{x} \over 4x^4}+(1/4){ x^{-4} \over -4 }+C}$
$= \displaystyle{-{\ln{x} \over 4x^4}-{1 \over 16x^4}+C}$ $=\frac{-4ln(x)+1}{16x^4}$

Avançado

a) $f'(x)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} e^x\frac{e^h-1}{h}$ Como, pela regra de L'Hospital, $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1$ então $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x$

b) $tg'(x)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{tg(x+h)-tg(x)}{h}$ Fazendo $t=x+h$, quando h tende a 0, t tende a x:
$tg'(x)=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{tg(t)-tg(x)}{t-x}=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{\frac{sen (t)}{cos (t)}-\frac{sen(x)}{cos(x)}}{t-x}$
$=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{sen(t)cos(x)-sen(x)cos(t)}{t-x}\cdot \frac{1}{cos(x)cos(t)}$
Como $\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{sen(t)cos(x)-sen(x)cos(t)}{t-x}=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{sen(t-x)}{t-x}=1$ e $\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{1}{cos(t)cos(x)}=\frac{1}{cos^2(x)}=sec^2(x)$ resulta que $tg'(x)=sec^2(x)$

c) $f(x)=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$ Temos que $f'(x)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+h}-\sqrt[n]{x}}{h}=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{\sqrt[n]{t}-\sqrt[n]{x}}{t-x}$ Fazendo $u=\sqrt[n]{t}$ e $v=\sqrt[n]{x}$ (quando $t \rightarrow x$, $u \rightarrow v$) resulta que $f'(x)=\displaystyle \lim_{u \rightarrow v} \frac{u-v}{u^n-v^n}=\displaystyle \lim_{u \rightarrow v} \frac{1}{\frac{u^n-v^n}{u-v}}=\frac{1}{nv^{n-1}}$ Assim, para $x\neq 0$ e x no domínio de f, $f'(x)=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$