Soluções Cálculo - Semana 14

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Iniciante

Como a função dada (f(x)=2^x) satisfaz as condiçõeses: f(x)=a^x, com a>0, a\neq 1 e x pertencentes aos reais, pode-se aplicar a relação: f'(x)=a^xln(a). Assim, f'(x)=2^xln(2) f'(3)=2^3ln(2)\cong 5,54

Intermediário

Seja u=\ln x e dv = \displaystyle{ 1 \over x^5 } \ dx = x^{-5} \ dx
Assim, du=\frac{1}{x}dx e v=\frac{x^{-4}}{-4}=\frac{-1}{4x^4}
Portanto, \displaystyle \int \frac{ln(x)}{x^5}dx=ln(x)\frac{-1}{4x^4}-\displaystyle \int \frac{-1}{4x^4}\cdot \frac{1}{x}dx
 =\displaystyle{-{\ln{x} \over 4x^4}+(1/4)\int { 1 \over x^5 } \, dx}
 = \displaystyle{-{\ln{x} \over 4x^4}+(1/4)\int { x^{-5} } \, dx}
 = \displaystyle{-{\ln{x} \over 4x^4}+(1/4){ x^{-4} \over -4 }+C}
 = \displaystyle{-{\ln{x} \over 4x^4}-{1 \over 16x^4}+C} =\frac{-4ln(x)+1}{16x^4}

Avançado

a) f'(x)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} e^x\frac{e^h-1}{h} Como, pela regra de L'Hospital, \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1 então \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x

b) tg'(x)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{tg(x+h)-tg(x)}{h} Fazendo t=x+h, quando h tende a 0, t tende a x:
tg'(x)=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{tg(t)-tg(x)}{t-x}=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{\frac{sen (t)}{cos (t)}-\frac{sen(x)}{cos(x)}}{t-x}
=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{sen(t)cos(x)-sen(x)cos(t)}{t-x}\cdot \frac{1}{cos(x)cos(t)}
Como \displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{sen(t)cos(x)-sen(x)cos(t)}{t-x}=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{sen(t-x)}{t-x}=1 e \displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{1}{cos(t)cos(x)}=\frac{1}{cos^2(x)}=sec^2(x) resulta que tg'(x)=sec^2(x)

c) f(x)=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x} Temos que f'(x)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+h}-\sqrt[n]{x}}{h}=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{\sqrt[n]{t}-\sqrt[n]{x}}{t-x} Fazendo u=\sqrt[n]{t} e v=\sqrt[n]{x} (quando t \rightarrow x, u \rightarrow v) resulta que f'(x)=\displaystyle \lim_{u \rightarrow v} \frac{u-v}{u^n-v^n}=\displaystyle \lim_{u \rightarrow v} \frac{1}{\frac{u^n-v^n}{u-v}}=\frac{1}{nv^{n-1}} Assim, para x\neq 0 e x no domínio de f, f'(x)=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}

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