Soluções Cálculo - Semana 16

Iniciante

$\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{7}{x^3-20}=$ "$\frac{7}{-\infty}$" $=0$
Ou seja, o numerador é sempre $7$ e o denominador tende a $-\infty$ quando x tende a $-\infty$, portanto o limite resulta em $0$.

Intermediário

Pelo gráfico, a região R a ser encontrada é dada pela área entre os gráficos de g e f, "de cima para baixo", ou seja, a região R será dada por: $\displaystyle \int_{0}^{a} [g(x)-f(x)]dx$

Como $a=0.1$: $\displaystyle \int_{0}^{0.1} [4^{-x}-(\frac{1}{4}+sin(\pi x))]dx$ $=\displaystyle \int_{0}^{0.1} 4^{-x}dx -\displaystyle \int_{0}^{0.1} \frac{1}{4}dx -\displaystyle \int_{0}^{0.1} sin(\pi x)dx$

À primeira integral aplica-se integração por substituição: $u=-x$ $\longrightarrow$ $du=-dx$ $-\displaystyle \int_{0*}^{0.1**} 4^udu=-\frac{4^u}{ln(4)}=-\frac{4^{-x}}{ln(4)}$ (nos intervalos de $0$ a $0.1$): $-\frac{4^{-0.1}}{ln(4)}-(-\frac{4^0}{ln(4)})\simeq 0.09337 u.a$

Cálculo das outras integrais: $-\displaystyle \int_{0}^{0.1} \frac{1}{4}dx=-\frac{1}{4}x$ (nos intervalos de $0$ a $0.1$): $=-\frac{1}{4}0.1-(-\frac{1}{4}0)=-0.025 u.a$

À terceira integral tambémm aplica-se integração por substituição: $u=\pi x$ $\longrightarrow$ $du=\pi dx$ $-\frac{1}{\pi}\displaystyle \int_{0*}^{0.1**} sin(u)du=\frac{-(-cos(u))}{\pi}=\frac{cos(\pi x)}{\pi}$ (nos intervalos de $0$ a $0.1$): $=\frac{cos(\pi)}{\pi}-\frac{cos(0)}{\pi}\simeq -0.01557 u.a$

Assim, a área da região R será: $0.09337-0.025-0.01557=0.0528u.a$

Avançado

Solução adaptada de Humberto Borges

Primeiro, divide-se a função em duas partes:
$\displaystyle{ \int_{0}^{1} { 3^x+4^x \over 5^x } \,dx }<br /> = \displaystyle{ \int_{0}^{1} \Big\{ {3^x \over 5^x } + {4^x \over 5^x} \Big\} \,dx }$
(Lembre-se que $\displaystyle{ { A^B \over C^B } = \Big( { A \over C }\Big)^B }$)
$= \displaystyle{ \int_{0}^{1} \Big\{ \Big({3 \over 5 }\Big)^x + \Big({4 \over 5}\Big)^x \Big\} \,dx }$
$= \frac{\frac{3}{5}^x}{ln(3/5)} + \frac{\frac{4}{5}^x}{ln(4/5)} \Bigg\vert_{0}^{1}$
$= [\frac{\frac{3}{5}^1}{ln(3/5)} + \frac{\frac{4}{5}^1}{ln(4/5)}]-[\frac{\frac{3}{5}^0}{ln(3/5)} + \frac{\frac{4}{5}^0}{ln(4/5)}]$
$=\frac{\frac{3}{5}-1}{ln(3/5)} + \frac{\frac{4}{5}-1}{ln(4/5)}$
$= \frac{-2/5}{\ln(3/5)}+\frac{-1/5}{ln(4/5)}=\simeq 1.67933$