Soluções Cálculo - Semana 16

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Iniciante

\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{7}{x^3-20}= "\frac{7}{-\infty}" =0
Ou seja, o numerador é sempre 7 e o denominador tende a -\infty quando x tende a -\infty, portanto o limite resulta em 0.

Intermediário

Pelo gráfico, a região R a ser encontrada é dada pela área entre os gráficos de g e f, "de cima para baixo", ou seja, a região R será dada por: \displaystyle \int_{0}^{a} [g(x)-f(x)]dx

Como a=0.1: \displaystyle \int_{0}^{0.1} [4^{-x}-(\frac{1}{4}+sin(\pi x))]dx =\displaystyle \int_{0}^{0.1} 4^{-x}dx -\displaystyle \int_{0}^{0.1} \frac{1}{4}dx -\displaystyle \int_{0}^{0.1} sin(\pi x)dx

À primeira integral aplica-se integração por substituição: u=-x \longrightarrow du=-dx -\displaystyle \int_{0*}^{0.1**} 4^udu=-\frac{4^u}{ln(4)}=-\frac{4^{-x}}{ln(4)} (nos intervalos de 0 a 0.1): -\frac{4^{-0.1}}{ln(4)}-(-\frac{4^0}{ln(4)})\simeq 0.09337 u.a

Cálculo das outras integrais: -\displaystyle \int_{0}^{0.1} \frac{1}{4}dx=-\frac{1}{4}x (nos intervalos de 0 a 0.1): =-\frac{1}{4}0.1-(-\frac{1}{4}0)=-0.025 u.a

À terceira integral tambémm aplica-se integração por substituição: u=\pi x \longrightarrow du=\pi dx -\frac{1}{\pi}\displaystyle \int_{0*}^{0.1**} sin(u)du=\frac{-(-cos(u))}{\pi}=\frac{cos(\pi x)}{\pi} (nos intervalos de 0 a 0.1): =\frac{cos(\pi)}{\pi}-\frac{cos(0)}{\pi}\simeq -0.01557 u.a

Assim, a área da região R será: 0.09337-0.025-0.01557=0.0528u.a

Avançado

Solução adaptada de Humberto Borges

Primeiro, divide-se a função em duas partes:
 \displaystyle{ \int_{0}^{1} { 3^x+4^x \over 5^x } \,dx }<br />
= \displaystyle{ \int_{0}^{1} \Big\{ {3^x \over 5^x } + {4^x \over 5^x} \Big\} \,dx }
(Lembre-se que  \displaystyle{ { A^B \over C^B } = \Big( { A \over C }\Big)^B } )
 = \displaystyle{ \int_{0}^{1} \Big\{ \Big({3 \over 5 }\Big)^x + \Big({4 \over 5}\Big)^x \Big\} \,dx }
 = \frac{\frac{3}{5}^x}{ln(3/5)} + \frac{\frac{4}{5}^x}{ln(4/5)} \Bigg\vert_{0}^{1}
 = [\frac{\frac{3}{5}^1}{ln(3/5)} + \frac{\frac{4}{5}^1}{ln(4/5)}]-[\frac{\frac{3}{5}^0}{ln(3/5)} + \frac{\frac{4}{5}^0}{ln(4/5)}]
 =\frac{\frac{3}{5}-1}{ln(3/5)} + \frac{\frac{4}{5}-1}{ln(4/5)}
 = \frac{-2/5}{\ln(3/5)}+\frac{-1/5}{ln(4/5)}=\simeq 1.67933

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