Soluções Cálculo - Semana 17

Iniciante

Pela regra do produto, tem-se: $f'(x)=6x^{\frac{3}{2}}\cdot d[tan(x)]+d[6x^{\frac{3}{2}}]\cdot tan(x)$ $=6x^{\frac{3}{2}}sec^2(x)+6\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}tan(x)$ $=6x^{\frac{3}{2}}sec^2(x)+9x^{\frac{1}{2}}$ Simplificando: $=3x^{\frac{1}{2}}(2x\cdot sec^2(x)+3tan(x))$

Intermediário

Tem-se o gráfico de $g'(x)$ e quer-se achar g(x). Para isso, o conceito de integral é bastante útil:
$g(3)=g(0)+\displaystyle \int_{0}^{3} g'(x)dx=5+\frac{\pi\cdot 2^2}{4}+\frac{3}{2}=\frac{13}{2}+\pi$
(Lembre-se que $g(0)=5$)
$g(-2)=g(0)-\displaystyle \int_{0}^{-2} g'(x)dx=5-\frac{\pi\cdot 2^2}{4}=5-\pi$

Avançado

Há um simples primeiro passo para resolver este problema, que é reescrever uma fração como uma soma ou diferença de frações:

Por exemplo: $\displaystyle{ { 1 \over 12 } = { 1 \over 3(4) } } = \displaystyle{ { 1 \over 3 } - { 1 \over 4 } }$ Assim, a decomposição de $\displaystyle{ 1 \over i(i+1) }$ é
$\displaystyle{ 1 \over i(i+1) } = \displaystyle{ {1 \over i } - {1 \over i+1 } }$
tal que
$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n} { 1 \over i(i+1) } }<br /> =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} {{1 \over i}- {1 \over (i+1)}}$

$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ \Big( { 1 \over 1 } - { 1 \over 2} \Big)+\Big( { 1 \over 2 } - { 1 \over 3} \Big)+\Big( { 1 \over 3 } - { 1 \over 4} \Big)+ ... + \Big( { 1 \over (n-1) } - { 1 \over n} \Big)+\Big( { 1 \over n } - { 1 \over (n+1)} \Big)}$

$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ 1 + (0) + (0) + (0) + ...<br /> + (0) + (0) - { 1 \over n+1 } \Big\} }$
$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ 1 - { 1 \over n+1 } \Big\} }$
$= 1 - 0$ $= 1$