Cálculo - Semana 2

Iniciante

Uma empresa quer construir uma pista de skate. Para isso, seus engenheiros devem escolher uma função matemática que descreva o formato da pista. Esta função será passada, então, para os robôs que a construirão. Eles utilizarão apenas a parte da função em que $y<0$, ou seja, não construirão nada acima do solo. A função que os engenheiros estão testando atualmente é

$$f(x)= -6x^2-\frac{x^3}{5}+\frac{x^4}{2}$$

Pelas características do local, os engenheiros sabem que a inclinação no ponto em que os robôs consideram $x=3$ não deve ser maior que $30$ (em módulo). Cheque se a função dada serve para a construção.
Dica: a inclinação da pista é o quanto a sua altura varia com a posição horizontal.

Intermediário

A imagem abaixo mostra o gráfico da função $f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$. Analisando o gráfico e utilizando a função, calcule

$$\lim\limits_{x \rightarrow 1} f(x)$$

 

Avançado

Uma empresa de latas de leite condensado quer fazer um novo tipo revolucionário de lata cilíndrica, como mostra a figura abaixo. Sendo seu novo volume constante fixado em $1$ litro, quais são as medidas do raio e altura da lata para que sua área superficial seja a menor possível?