Soluções Cálculo - Semana 2

Pela interpretação geométrica da derivada, sabemos que essa dará a inclinação do gráfico, ou melhor, da reta tangente a ele em determinado ponto. A partir disso, para a função ser adequada à construção, devemos ter:

$$|f'(3)| \leq 30 \ \ \ \ \ (1)$$

Como a função em questão é um polinômio, as regras de diferenciação nos dão:

$$f'(3) = -12x - \frac{3}{5}x^2 + 2x^3$$

Com obtemos:

$$f'(3) = -12 \cdot 3 - \frac{3}{5} \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 \Rightarrow |f'(3)| = 12,6 < 30$$

Logo a condição $(1)$ é satisfeita e, portanto, a função servirá para o propósito dos engenheiros.

Note que calculando $f(1)$ obtemos uma indeterminação:

$$f(1) = \frac{\sqrt{1} - 1}{1-1} = \frac{0}{0}$$

No entanto, ao observarmos o gráfico da função, vemos que, quando $x \rightarrow 1$, ou seja, a variável se aproxima de $1$, $f(x)$ se aproxima de $0,5$. Tal fato nos sugere, pela definição intuitiva de limite, que o limite pedido é $0,5$. Para demonstrar isso, utilizaremos a regra de L`hopital, a qual pode ser usada devido à indeterminação que obtivemos:

$$\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x} -1}{x-1} = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{2}$$

$$\ $$

Da geometria espacial, sabemos que o volume da embalagem cilíndrica será dado por:

$$V = \pi r^2 h = 1 \Rightarrow h = \frac{1}{\pi r^2} \ \ \ \ \ \ (1)$$

Sendo $A$ sua área superficial:

$$A = 2 \pi r (r+ h) \ \ \ \ \ \ (2)$$

Substituindo $(1)$ em $(2)$, obtemos:

$$A = 2 \pi r (r + \frac{1}{\pi r^2}) = 2 \pi r^2 + \frac{2}{r}$$