Soluções Cálculo - Semana 2

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Iniciante (Solução por Arthur Klemenchuk Sueiro e Vinícius Alves Faria)

Pela interpretação geométrica da derivada, sabemos que essa dará a inclinação do gráfico, ou melhor, da reta tangente a ele em determinado ponto. A partir disso, para a função ser adequada à construção, devemos ter:

|f'(3)| \leq 30 \ \ \ \ \ (1)

Como a função em questão é um polinômio, as regras de diferenciação nos dão:

f'(3) = -12x - \frac{3}{5}x^2 + 2x^3

Com obtemos:

f'(3) = -12 \cdot 3 - \frac{3}{5} \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 \Rightarrow |f'(3)| = 12,6 < 30

Logo a condição (1) é satisfeita e, portanto, a função servirá para o propósito dos engenheiros.

 

Intermediário (Solução por Arthur Klemenchuk Sueiro e Vinícius Alves Faria)

Note que calculando f(1) obtemos uma indeterminação:

f(1) = \frac{\sqrt{1} - 1}{1-1} = \frac{0}{0}

No entanto, ao observarmos o gráfico da função, vemos que, quando x \rightarrow 1, ou seja, a variável se aproxima de 1, f(x) se aproxima de 0,5. Tal fato nos sugere, pela definição intuitiva de limite, que o limite pedido é 0,5. Para demonstrar isso, utilizaremos a regra de L`hopital, a qual pode ser usada devido à indeterminação que obtivemos:

\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x} -1}{x-1} = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{2}

 \

Avançado (Solução por Arthur Klemenchuk Sueiro)

Da geometria espacial, sabemos que o volume da embalagem cilíndrica será dado por:

V = \pi r^2 h = 1 \Rightarrow h = \frac{1}{\pi r^2} \ \ \ \ \ \ (1)

Sendo A sua área superficial:

A = 2 \pi r (r+ h) \ \ \ \ \ \ (2)

Substituindo (1) em (2), obtemos:

A = 2 \pi r (r + \frac{1}{\pi r^2}) = 2 \pi r^2 + \frac{2}{r}

Como desejamos que a área superficial da embalagem seja mínima, devemos ter:

\frac{dA}{dr} = 0

Pela “regra do tombo”:

\frac{dA}{dr} = 4 \pi r - \frac{2}{r^2} = 0 \Rightarrow 2 \pi r^3 - 1 = 0

Por ser uma medida de comprimento, r \in R_{+}. A única solução da equação que obedece tal condição é:

r = \frac{1}{\sqrt[3]{2 \pi}}

De fato, esse valor minimiza A, já que:

\frac{d^2A}{dr^2} = 4\pi + \frac{4}{r^3}

Assume um valor positivo com esse valor de r. A única solução da equação que. Substituindo na equação (1):

h = \frac{\sqrt[3]{4 \pi ^2}}{\pi} = \sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}

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