Soluções Cálculo - Semana 24

Iniciante

A) Utilizando-se a definição formal de limite, comece considerando que $\varepsilon>0$ existe. Ache um $\delta>0$ tal que se $0<\vert x-5 \vert < \delta$, então $\vert f(x)-7 \vert< \varepsilon$. Assim, $\vert 7-7 \vert < \varepsilon$ e $\vert 0 \vert < \varepsilon$. Mas esta trivial desigualde é sempre verdade, não importando o valor escolhido para $\delta$. Por exemplo, $\delta=\frac{1}{2}$ irá funcionar. Assim, se $0<\vert x-5 \vert < \delta$, então segue que $\vert f(x)-7 \vert< \varepsilon$. Isto completa a prova.

B) Primeiro, note que $-1 \le \sin x \le +1$ (devido às propriedades da função seno). Assim,
$\displaystyle{ { -1 \over x } \le { \sin x \over x } \le { 1 \over x } }$
Já que $\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \ { -1 \over x } = 0 = \lim_{ x \to \infty } \ { 1 \over x } }$ Segue que, pelo "Teorema do Sandu\'iche": $\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \ { \sin x \over x } = 0 }$

Intermediário

Comece com $y = x^2 y^3 + x^3 y^2$. Derive os dois lados da equação pela regra do produto, tendo-se:
$D(y) = D ( x^2 y^3 + x^3 y^2 )$
$D(y) = D ( x^2 y^3 ) + D ( x^3 y^2 )$
$y' = \{ x^2 D ( y^3 ) + D ( x^2 ) y^3 \} + \{ x^3 D ( y^2 ) + D ( x^3 ) y^2 \}$
$y' = \{ x^2 ( 3y^2 y' ) + ( 2x ) y^3 \} + \{ x^3 ( 2 y y' ) + ( 3x^2 ) y^2 \}$
$y' = 3x^2 y^2 y' + 2x y^3 + 2x^3 y y' + 3x^2 y^2$
Agora resolva para y' :
$y' - 3x^2 y^2 y' - 2x^3 y y' = 2x y^3 + 3x^2 y^2$
Isole y' :
$y' [ 1 - 3x^2 y^2 - 2x^3 y ] = 2x y^3 + 3x^2 y^2$
e $y' = \displaystyle{ 2x y^3 + 3x^2 y^2 \over 1 - 3x^2 y^2 - 2x^3 y }$

Avançado

Primeiro, simplifique as funções exponenciais dentro da integral. O resultado é
$\displaystyle{ \int e^{5x}<br /> \Big( { e^{2x} \over 7 } + { 3 \over e^{3x} } \Big)dx= \displaystyle \int \Big( { e^{5x} e^{2x} \over 7 } + { 3 e^{5x} \over e^{3x} } \Big) \,dx }$
(Lembre-se de que $\displaystyle{ R^M R^N = R^{M+N}}$ e $\displaystyle{ { R^M \over R^N } = R^{M-N}}$)
$= \displaystyle{ \int \Big( { e^{5x+2x} \over 7 } + 3 e^{5x-3x} \Big) \,dx }$
$= \displaystyle{ \int \Big( { e^{7x} \over 7 } + 3 e^{2x} \Big) \,dx }$
$= \displaystyle{ (1/7) \int e^{7x} \,dx } + \displaystyle{ 3 \int e^{2x} \,dx }$
$= \displaystyle{ (1/7) { e^{7x} \over 7 } } + \displaystyle{ 3 { e^{2x} \over 2 } } + C$
$= \displaystyle{ (1/49) e^{7x} } + \displaystyle{ (3/2) e^{2x} } + C$