Soluções Cálculo - Semana 24

0 Flares Facebook 0 0 Flares ×

Iniciante

A) Utilizando-se a definição formal de limite, comece considerando que \varepsilon>0 existe. Ache um \delta>0 tal que se 0<\vert x-5 \vert < \delta, então \vert f(x)-7 \vert< \varepsilon. Assim, \vert 7-7 \vert < \varepsilon e \vert 0 \vert < \varepsilon. Mas esta trivial desigualde é sempre verdade, não importando o valor escolhido para \delta. Por exemplo, \delta=\frac{1}{2} irá funcionar. Assim, se 0<\vert x-5 \vert < \delta, então segue que \vert f(x)-7 \vert< \varepsilon. Isto completa a prova.

B) Primeiro, note que  -1 \le \sin x \le +1 (devido às propriedades da função seno). Assim,
 \displaystyle{ { -1 \over x } \le { \sin x \over x } \le { 1 \over x } }
Já que  \displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \ { -1 \over x } = 0 = \lim_{ x \to \infty } \ { 1 \over x } } Segue que, pelo "Teorema do Sandu\'iche":  \displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \ { \sin x \over x } = 0 }

Intermediário

Comece com y = x^2 y^3 + x^3 y^2. Derive os dois lados da equação pela regra do produto, tendo-se:
D(y) = D ( x^2 y^3 + x^3 y^2 )
D(y) = D ( x^2 y^3 ) + D ( x^3 y^2 )
 y' = \{ x^2 D ( y^3 ) + D ( x^2 ) y^3 \} + \{ x^3 D ( y^2 ) + D ( x^3 ) y^2 \}
 y' = \{ x^2 ( 3y^2 y' ) + ( 2x ) y^3 \} + \{ x^3 ( 2 y y' ) + ( 3x^2 ) y^2 \}
y' = 3x^2 y^2 y' + 2x y^3 + 2x^3 y y' + 3x^2 y^2
Agora resolva para y' :
y' - 3x^2 y^2 y' - 2x^3 y y' = 2x y^3 + 3x^2 y^2
Isole y' :
y' [ 1 - 3x^2 y^2 - 2x^3 y ] = 2x y^3 + 3x^2 y^2
e  y' = \displaystyle{ 2x y^3 + 3x^2 y^2 \over 1 - 3x^2 y^2 - 2x^3 y }

Avançado

Primeiro, simplifique as funções exponenciais dentro da integral. O resultado é
 \displaystyle{ \int e^{5x}<br />
\Big( { e^{2x} \over 7 } + { 3 \over e^{3x} } \Big)dx= \displaystyle \int \Big( { e^{5x} e^{2x} \over 7 } + { 3 e^{5x} \over e^{3x} } \Big) \,dx }
(Lembre-se de que  \displaystyle{ R^M R^N = R^{M+N}} e  \displaystyle{ { R^M \over R^N } = R^{M-N}} )
 = \displaystyle{ \int \Big( { e^{5x+2x} \over 7 } + 3 e^{5x-3x} \Big) \,dx }
 = \displaystyle{ \int \Big( { e^{7x} \over 7 } + 3 e^{2x} \Big) \,dx }
 = \displaystyle{ (1/7) \int e^{7x} \,dx } + \displaystyle{ 3 \int e^{2x} \,dx }
 = \displaystyle{ (1/7) { e^{7x} \over 7 } } + \displaystyle{ 3 { e^{2x} \over 2 } } + C
 = \displaystyle{ (1/49) e^{7x} } + \displaystyle{ (3/2) e^{2x} } + C

0 Flares Facebook 0 0 Flares ×
0 Flares Facebook 0 0 Flares ×
%d bloggers like this: