Soluções Cálculo - Semana 25

Iniciante

$f'(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}(x+h)-\frac{3}{5}-[\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}]}{h}$
$\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}h-\frac{3}{5}-\frac{1}{2}x+\frac{3}{5}}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}h}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Intemediário

Pela regra do quociente, $f'(x)=\frac{(4e^x-x)d(7x^2)-7x^2d(4e^x-x)}{(4e^x-x)^2}$
$=\frac{14x(4e^x-x)-7x^2(4e^x-1)}{(4e^x-x)^2}=\frac{56xe^x-14x^2-28x^2e^x+7x^2}{(4e^x-x)^2}$
$=\frac{56xe^x-28x^2e^x-7x^2}{(4e^x-x)^2}=\frac{7x(8e^x-4xe^x-x)}{(4e^x-x)^2}$

Avançado

Para chegar ao resultado de Gustav, lembre-se de que a integral da velocidade do foguete será a expressão para a posição do mesmo! Primeiro, use divisão polinomial para dividir $x^3$ por $x+2$. O resultado é
$\displaystyle{ \int { x^3 \over x+2 } \,dx }<br /> = \displaystyle{ \int \Big\{ x^2-2x+4-{8 \over x+2 } \Big\} \,dx }$
$= \displaystyle{ \int (x^2-2x+4) \,dx }<br /> - \displaystyle{ 8 \int {1 \over x+2 } \,dx }$
Na segunda integral, use integração por substituição. Seja
$u = x+2$ tal que $du = dx$ Substitua no problema inicial, tendo-se:
$\displaystyle \int (x^2-2x+4)dx - 8\displaystyle \int \frac{1}{x+2}dx = \displaystyle{ \frac{x^3}{3} -x^2+4x-8\displaystyle \int \frac{1}{u} du}$
$= \displaystyle{ { x^3 \over 3 }-x^2+4x } - 8 \ln \vert u\vert + C$
$= \displaystyle{ { x^3 \over 3 }-x^2+4x } - 8 \ln \vert x+2\vert + C$

\end{document}