Soluções Cálculo - Semana 26

Iniciante

Sendo $f(x)=x^5+59x^4+2x$ uma função polinomial derivável e "bem comportada", sua integral será: $\displaystyle \int (x^5+59x^4+2x) dx=\frac{x^6}{6}+59\frac{x^5}{5}+2\frac{x^2}{2}$

Intermediário

Pela Regra da Cadeia, $f'(x)=5cos(5x)$ Isto é, de um jeito bem simples, a derivada de $sen(5x)$ é $cos(5x)$ vezes a derivada de $(5x)$.

Avançado

Solução adaptada de Humberto Borges

Por Integração por Partes, seja $u=ln(x)$. Tem-se: $du=\frac{1}{x}dx$. Define-se também $dv=xdx$. Logo,
$\displaystyle \int dv= \displaystyle \int x dx \rightarrow v=\frac{x^2}{2}+C$
Substituindo os termos na expressão de Integra\c{cão por Partes $\displaystyle \int udv= uv - \displaystyle \int v du$ $=\frac{x^2}{2}ln(x)-\displaystyle \int \frac{x^2}{2}\frac{dx}{x}=\frac{x^2}{2}ln(x)-\frac{x^2}{4}+C$