Soluções Cálculo - Semana 26

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Iniciante

Sendo f(x)=x^5+59x^4+2x uma função polinomial derivável e "bem comportada", sua integral será: \displaystyle \int (x^5+59x^4+2x) dx=\frac{x^6}{6}+59\frac{x^5}{5}+2\frac{x^2}{2}

Intermediário

Pela Regra da Cadeia, f'(x)=5cos(5x) Isto é, de um jeito bem simples, a derivada de sen(5x) é cos(5x) vezes a derivada de (5x).

Avançado

Solução adaptada de Humberto Borges

Por Integração por Partes, seja u=ln(x). Tem-se: du=\frac{1}{x}dx. Define-se também dv=xdx. Logo,
 \displaystyle \int dv= \displaystyle \int x dx \rightarrow v=\frac{x^2}{2}+C
Substituindo os termos na expressão de Integra\c{cão por Partes \displaystyle \int udv= uv - \displaystyle \int v du =\frac{x^2}{2}ln(x)-\displaystyle \int \frac{x^2}{2}\frac{dx}{x}=\frac{x^2}{2}ln(x)-\frac{x^2}{4}+C

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