Solução Cálculo - Semana 27

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Iniciante

A função f é definida em x=1, já que f(1) = 2.
O limite  \displaystyle{ \lim_{ x \to 1 } f(x) = \lim_{ x \to 1 } (3x-5) }=-2
Logo,  \displaystyle{ \lim_{ x \to 1 } f(x) = -2 }
Mas  \displaystyle{ \lim_{ x \to 1 } f(x) \ne f(1) } , ou seja, as condições de continuidade não são satisfeitas e a função f não é cont\'inua em x=1.

Intermediário

 \displaystyle{ \sum_{i=15}^{150} (4i+1) } =\displaystyle{ \sum_{i=15}^{150} 4i + \sum_{i=15}^{150} 1 }
 = \displaystyle{ 4 \Big( \sum_{i=15}^{150} i \Big) + \sum_{i=15}^{150} 1 }
Observe que cada soma começa com i=15.
 = \displaystyle{ 4 \Big( \sum_{i=1}^{150} i - \sum_{i=1}^{14} i \Big) + \Big( \sum_{i=1}^{150} 1 - \sum_{i=1}^{14} 1 \Big) }
 = \displaystyle{ 4 \Big( { 150(150+1) \over 2 } - { 14(14+1) \over 2 } \Big) + ( (1)(150) - (1)(14) ) }
= 4(11325 - 105) + (136)= 45016

Avançado

Comece com y = (3x^2+5)^{1/x}. Aplique logaritmo natural aos dois lados da equação, tendo:
 \ln y = \ln (3x^2+5)^{1/x}
 = \displaystyle{ \ln (3x^2+5) \over x }
Derive os dois lados da equação
 \ln y = \displaystyle{ \ln (3x^2+5) \over x }
Tendo-se
 \displaystyle{ { 1 \over y } } y' = \displaystyle{ x \Big\{ \displaystyle{ 1 \over 3x^2+5 } \Big\} (6x) - \ln(3x^2+5) (1) \over x^2 }
 = \displaystyle{ \displaystyle{ 6x^2 \over 3x^2+5 } - \ln(3x^2+5) \Big\{ \displaystyle{ 3x^2+5 \over 3x^2+5 } \Big\} \over \displaystyle{ x^2 \over 1 } }
 = \displaystyle{ 6x^2 - (3x^2+5) \ln(3x^2+5) \over 3x^2+5 } \displaystyle{ 1 \over x^2 }
 = \displaystyle{ 6x^2 - (3x^2+5) \ln(3x^2+5) \over x^2 (3x^2+5) }
 y' = y \displaystyle{ 6x^2 - (3x^2+5) \ln(3x^2+5) \over x^2 (3x^2+5) }
 = (3x^2+5)^{1/x} \displaystyle{ 6x^2 - (3x^2+5) \ln(3x^2+5) \over x^2 (3x^2+5)}

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