Soluções Cálculo - Semana 28

Iniciante

\lim \limits_{x \rightarrow 3} \frac{5x^2-8x-13}{x^2-5}=\frac{5(3)^2-8(3)-13}{(3)^2-5}=\frac{8}{4}=2

Intermediário

Por Integração por Substituição, seja u = \ln x tal que du=\displaystyle{1 \over x}dx.
Substitua no problema original:
\displaystyle{ \int { 3 \over x \ln x } \,dx }=3 \displaystyle{ \int { 1 \over \ln x } \, { 1 \over x } dx}
= 3 \displaystyle{ \int { 1 \over u } \, du }
= 3 \displaystyle{ \ln \vert u \vert + C }
= 3 \displaystyle{ \ln \vert \ln x \vert + C }

Avançado

Primeiro, reescreva a função utilizando a identidade trigonométrica cos^2x=1-sin^2x, simplifique-a e depois resolva-a.
\displaystyle{ \int { \cos^2 x \over 1 + \sin x } \,dx } = \displaystyle{ \int { 1 - \sin^2 x \over 1 + \sin x } \,dx }
= \displaystyle{ \int { 1^2 - \sin^2 x \over 1 + \sin x } \,dx }
= \displaystyle{ \int { (1 - \sin x) (1 + \sin x) \over 1 + \sin x } \,dx}
= \displaystyle{ \int { (1 - \sin x) } \,dx }
= \displaystyle{ \int 1 \,dx - \int \sin x \,dx }
= \displaystyle{ x - (- \cos x ) + C }
= \displaystyle{ x + \cos x + C }