Soluções Cálculo - Semana 3

Iniciante

Para resolvermos

$$\displaystyle \int_{0}^{24} v(t)dx$$

podemos dividir o gráfico de $v(t)$ em intervalos e integrar cada parte e somá-las, já que não sabemos o valor de $v(t)$:

$$\displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{4} 20dx + \displaystyle \int_{4}^{16} 20dx + \displaystyle \frac{1}{2}\int_{16}^{24} 20dx$$

$\frac{1}{2}20x$ nos intervalos de $0$ a $4$ $+$ $20x$ nos intervalos de $4$ a $16$ $+$ $\frac{1}{2}20x$ nos intervalos de $16$ a $24$.
O que nos dá: $10(4) - 10(0)$ $+$ $20(16)-20(4)$ $+$ $10(24) - 10(16)=$

$$=360$$

Ou seja, o carro percorreu $360$ metros nesses $24$ segundos, e vimos mais um exemplo de integração de derivada, resolvendo os dois problemas pedidos!

Intermediário

Para resolver o problema do humor do gato do João (parte dele, aliás, porque ele ainda não sabe totalmente em que circunstâncias e por que seu gato se comportou assim naquele determinado dia), precisaremos resolver sua equação diferencial: organizá-la de modo que cada membro da equação tenha um termo de $x$ e outro de $y$ (inicialmente da forma: $dx$ e $dy$), para depois integrar cada membro e acharmos uma função $y$ em termos de $x$, j\'a que, integrando uma derivada, encontraremos sua função original, como foi exemplificado em um problema das semanas anteriores do Noic.
Desta forma, teremos:

$$dy=(3x^2-2)dx$$

$$\displaystyle \int dy=\displaystyle 3\int x^2dx - \displaystyle \int 2dx$$

$$y=\frac{3x^3}{3}-2x+C$$

$$f(x)=x^3-2x+C$$

Que é a função que João procura!

 

Avançado

Para acharmos a área da piscina, vamos utilizar mais uma vez integrais! Ao observarmos a imagem, a função $y=sin(x\pi)$ está sobre a função $x^3-4x$, então podemos escrever a integral que queremos como

$$\displaystyle \int_{0}^{2} [sin(x\pi)-(x^3-4x)]dx$$

$$\displaystyle \int_{0}^{2} sin(x\pi)dx - \displaystyle \int_{0}^{2} x^3dx + \displaystyle 4\int_{0}^{2} xdx$$

$$-cos(x\pi)-\frac{x^4}{4}+\frac{4x^2}{2}$$

nos intervalos de $0$ a $2$:

$$-cos(2\pi)-(-cos(0))-\frac{2^4}{4}-(-\frac{0^4}{4})+2(2^2)-2(0^2))=$$

$$=4u.a.$$