Soluções Cálculo - Semana 3

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Iniciante

Para resolvermos

\displaystyle \int_{0}^{24} v(t)dx

podemos dividir o gráfico de v(t) em intervalos e integrar cada parte e somá-las, já que não sabemos o valor de v(t):

\displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{4} 20dx + \displaystyle \int_{4}^{16} 20dx + \displaystyle \frac{1}{2}\int_{16}^{24} 20dx

\frac{1}{2}20x nos intervalos de 0 a 4 + 20x nos intervalos de 4 a 16 + \frac{1}{2}20x nos intervalos de 16 a 24.
O que nos dá: 10(4) - 10(0) + 20(16)-20(4) + 10(24) - 10(16)=

=360


Ou seja, o carro percorreu 360 metros nesses 24 segundos, e vimos mais um exemplo de integração de derivada, resolvendo os dois problemas pedidos!

Intermediário

Para resolver o problema do humor do gato do João (parte dele, aliás, porque ele ainda não sabe totalmente em que circunstâncias e por que seu gato se comportou assim naquele determinado dia), precisaremos resolver sua equação diferencial: organizá-la de modo que cada membro da equação tenha um termo de x e outro de y (inicialmente da forma: dx e dy), para depois integrar cada membro e acharmos uma função y em termos de x, j\'a que, integrando uma derivada, encontraremos sua função original, como foi exemplificado em um problema das semanas anteriores do Noic.
Desta forma, teremos:

dy=(3x^2-2)dx


\displaystyle \int dy=\displaystyle 3\int x^2dx - \displaystyle \int 2dx


y=\frac{3x^3}{3}-2x+C


f(x)=x^3-2x+C


Que é a função que João procura!

 

Avançado

Para acharmos a área da piscina, vamos utilizar mais uma vez integrais! Ao observarmos a imagem, a função y=sin(x\pi) está sobre a função x^3-4x, então podemos escrever a integral que queremos como

\displaystyle \int_{0}^{2} [sin(x\pi)-(x^3-4x)]dx


\displaystyle \int_{0}^{2} sin(x\pi)dx - \displaystyle \int_{0}^{2} x^3dx + \displaystyle 4\int_{0}^{2} xdx


-cos(x\pi)-\frac{x^4}{4}+\frac{4x^2}{2}

nos intervalos de 0 a 2:

-cos(2\pi)-(-cos(0))-\frac{2^4}{4}-(-\frac{0^4}{4})+2(2^2)-2(0^2))=


=4u.a.

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